Метод наименьших квадратов

Для повышения точности результатов измерений проводят многократные измерения, а обработку проводят методом наименьшим квадратов (МНК).

Суть метода заключается в том, что оценки выбирают таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условным уравнением

.

достигает минимума при значениях , обращающих в ноль все частные производные от по искомым величинам:

, j = 1,2,...,n

Рассмотрим этот метод на частном, но часто встречающимся случае совместных измерений двух ФВ X и Y, причем, известно, что зависимость между ними линейная: Y=a+bX.

Производят совместные измерения значений X_i и со-

ответствующих им значений Y_i, получая зависимость Y=f(X) (рис. 11.1).

Применять МНК в этом случае можно, если соблюдать следующие три условия:

1. Значения Х_i округляется с пренебрежительно малой погрешностью, т.е. для всех результатов измерений Х_i можно пренебречь .

2. Результат измерений величин Yi содержит только случайные погрешности с дисперсией D.

- т.е. измерения равноточные,

3. Случайная погрешность имеют нормальное распределение.

При этих условиях оценка методом наименьших квадратов является состоятельной, несмещенной и эффективной (D=D_min).

Удобнее представить зависимость Y=f(X) в виде:

,где b=b, a₀=a+bX.

В этом случае неизвестные параметры a₀ и b, которые необходимо определить при проведении совместных измерений, определяются следующим образом:

a₀ = ;

b=

n - число точек, в которых производятся совместные измерения.

Дисперсия погрешностей определения параметров a₀ и b равна:

.

Можно заметить, что результаты прямых измерений, полученных ранее, как среднее арифметическое результатов наблюдений, является оценкой методов наименьших квадратов для случая b=0. Изложенное имеет большое практическое значение при проведении технических измерений и прежде всего при построении градуировочных характеристик СИ.

Контрольные вопросы

1 Что понимать под «методом наименьших квадратов»?

2 В каких случаях можно применять метод наименьших квадратов?

3 Для чего нужен такой метод, как метод наименьших квадратов?

1.12 Правовые основы и нормативная база обеспечения единства измерений в РФ

Российская система измерений (РСИ) является социально значимой системой и представляет собой организационные и функциональные объединения участников, проводящих измерения и потребителей измерительной информации.

В РСИ входят органы и службы, обеспечивающие единство измерений, разработчики, производители (поставщики) и пользователи средствами измерений (СИ), действующие в соответствии с российским законодательством.

Основной целью РСИ является содействие экономическому и социальному развитию общества путем защиты от неверных результатов измерений на основе конституционных норм, Законов РФ, постановлений Правительства РФ и государственных стандартов.

Важнейшей задачей РСИ для достижения этой цели является проведение единой технической политики по обеспечению единства измерений в масштабах всей страны, влияющих на уровень жизни и благосостояние граждан, на экономику и производство, правопорядок, безопасность, экологию, науку и технику, обороноспособность, а также на международное сотрудничество.

Исходными предпосылками формирования и развития РСИ в современных условиях являются следующие положения:

* переход Российской Федерации на рыночные экономические отношения;

* признание целесообразности сохранения и управления хозяйственных, торговых и научно-технических отношений и интеграции со странами СНГ, необходимость проведения с ними согласованной политики в области метрологии;

* признание необходимости интеграции экономики страны с европейской и мировой экономикой.

Для наглядности правовая и нормативная база обеспечения единства измерений в Российской Федерации может быть изображена в виде схемы, представленной на рис12.1.

Как видно из приведенной схемы, важнейшим документом, определяющим правовые основы обеспечения единства измерений в РФ, является Конституция РФ.

РСИ является объективным инструментом для обеспечения оценки качества продукции и услуг через стандарты, метрологическое обеспечение производства, испытания и имеет следующие основы:

* научную - метрология, со своими постулатами;

* нормативную - законы, подзаконные акты, стандарты по метрологии и производству измерительной техники;

* техническую - средства измерений соответствующего качества (испытанные и исследованные);

* организационную - Государственная метрологическая служба и метрологические службы юридических и физических лиц.

Контрольные вопросы

1 Что входит в Российскую систему измерений?

2 Что является нормативно-правовой базой обеспечения единства измерений в Российской Федерации?

3 Каковы основы Российской системы обеспечения единства измерений?

1.13 Средства измерения

Понятие и термин «средство измерений» получили широкое распространение в метрологической практике с начала 70-х годов, когда этот термин был введен. К этому времени стала ясной необходимость, особенно для технических измерений, разработки единой метрологической методологии, охватывающей все области измерений. В связи с этим было признано необходимым ввести некоторый термин, который охватывал бы любое техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах (значениях) измеряемых величин. Таким образом, в принятом термине под средством измерения понималось техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах измеряемых физических величин. Прежде каждое из подобных технических устройств именовалось отдельно, и, при необходимости формирования каких-либо правил, методов, требований и т.п., относящихся ко всем таким техническим устройствам, давалось просто их перечисление. При выработке соответствующего термина не вызывало сомнений, что он должен охватить измерительные показывающие и регистрирующие приборы, измерительные преобразователи (первичные и промежуточные), измерительные и информационно-измерительные системы, меры. Термин «средство измерения» был введен и получил широкое распространение как в литературе, так и в метрологических нормативных и методических документах.

Как известно, средства измерений подвергаются соответствующему метрологическому контролю и надзору, т.е. существует ряд обязательных правил и требований, которые должны соблюдать как разработчики средств измерений, так и потребители. После введения термина «средство измерения», о котором говорилось ранее, на практике оказалось, что принятое определение недостаточно четко. Это вызвало необходимость уточнения принятого термина. В настоящее время принято следующее определение: средство измерения - техническое средство (или их комплекс), предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой принимается неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени (ГОСТ 16263).

Метрологические характеристики - это характеристики свойств СИ, оказывающие влияние на результаты измерений.

Термин «средство измерения» не является однородным понятием, определяющем совокупность идентичных технических средств. Он является понятием обобщенным, объединяющем самые разнообразные конструктивно законченные устройства, обладающие одним из двух следующих признаков:

1. Они вырабатывают сигнал (показание), несущий информацию о размере (значении) измеряемой физической величины.

2. Воспроизводят величину заданного (известного) размера.

Объединение технических устройств по этим двум признакам сделано только из соображений целесообразности общего метрологического анализа и регламентации метрологических требований и правил, единых для измерительных, показывающих и регистрирующих приборов, измерительных преобразователей, измерительных систем, измерительных комплексов, мер.

Применение средств измерений невозможно без знания степени соответствия информации, содержащейся в их выходном сигнале (показаниях), о размере измеряемой (преобразуемой) величины ее истинному размеру. Для этого метрологические характеристики средств измерений нормируются. Это позволяет знать инструментальную погрешность средств измерений.

Всякое средство измерения (кроме некоторых мер) в общем случае можно рассматривать как некоторую цепь (механическую, электрическую и др.), для которой характерна определенная зависимость между информативным параметром (показанием прибора) выходного сигнала и измеряемой величиной. Это справедливо и для таких специфических средств измерений, как измерительные (информационно - измерительные) системы (ИС, ИИС), состоящие в свою очередь из более простых средств измерений и различных технических устройств.

Все средства измерений могут классифицироваться по различным признакам.

По принципу действия средства измерений могут подразделяться на:

* механические;

* электрические;

* электро-магнитные;

* электронные;

* оптические.

По способу определения значения измеряемой величины средства измерения можно разделить на две группы: прямого действия и сравнения.

СИ прямого действия (непосредственной оценки) позволяют получать значения измеряемой величины на отсчетном устройстве (манометр, амперметр, термометр). Характерной особенностью таких приборов является то, что результаты, полученные с их помощью, не требуют сравнения с показателями образцовых средств измерений.

В СИ сравнения значение измеряемой величины определяют сравнением с известной величиной соответствующей ее меры. Например, при измерении массы тел на рычажных весах.

По способу образования показаний средства измерения подразделяют на показывающие и регистрирующие. Показывающие приборы в свою очередь подразделяют на аналоговые и цифровые.

Аналоговые приборы - это, как правило, стрелочные приборы с отсчетными устройствами, состоящими их двух элементов - шкалы и указателя, связанного с подвижной частью прибора. Показания таких приборов являются непосредственной функцией измерений измеряемой величины.

Цифровые измерительные приборы автоматически вырабатывают дискретные сигналы измерительной информации, которые предоставляют в цифровой форме. Отсчет у них производится с помощью механических или электронных цифровых отсчетных устройств. Благодаря своим преимуществам (высокая производительность измерения, исключение ошибок оператора, результат измерения удобен для ввода в ЭВМ и т.д.), в последние годы они все чаще заменяют стрелочные приборы.

Регистрирующие измерительные приборы подразделяют на самопишущие (термографы, барографы, шлейфовые осциллографы), выдающие показания в форме диаграмм, и печатающие, которые выдают результат измерения в цифровой форме на бумажной ленте. Регистрирующие измерительные приборы находят широкое применение при измерении физических величин, параметров процессов или свойств объектов в динамических процессах, когда непрерывно изменяются те или иные условия измерения (температура, давление и т.д.).

Измерительный преобразователь - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хранения, но не поддающийся непосредственному восприятию наблюдателем.

Преобразуемая физическая величина называется входной, а результат преобразования - выходной величиной.

Измерительные преобразователи являются составной частью измерительных приборов, различных измерительных систем, систем автоматического контроля или регулирования тех или иных процессов. Преобразователь, стоящий первым в измерительной цепи, обычно называют первичным (термопара в термоэлектрическом термометре). Преобразователь, предназначенный для изменения величины в заданное число раз, называется масштабным (измерительные усилители). Преобразователь, предназначенный для дистанционной передачи сигнала измерительной информации называется передающим.

Если первичный преобразователь имеет конструктивную самостоятельность и нормированную функцию преобразования, то его иногда называют датчиком. Как правило, датчики преобразуют неэлектрические величины в электрические.

В настоящее время широко применяются аналоговые, аналого-цифровые (АЦП) и цифро-аналоговые (ЦАП) преобразователи.

Измерительная установка - совокупность функционально объединенных средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем и расположенных в одном месте. Создание измерительных установок, называемых также измерительными стендами, позволяют наиболее рационально расположить все требуемые средства измерения и соединить их с объектами измерений для обеспечения наиболее высокой производительности труда, качества измерений на данном рабочем месте (например, на рабочих местах операторов в конкретных условиях производства или измерительных лабораториях).

Измерительная система - совокупность средств измерений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и (или) использования автоматических в автоматических системах управления. (АИС - автоматизированная измерительная система; ИИС - информационно - измерительная система; ИВК - измерительно-вычислительный комплекс).

Главная цель всех измерительных систем - автоматизация процесса измерения и использования результатов измерений для автоматического управления различными процессами производства.

Вспомогательное средство измерения - средство измерения величин, влияющих на метрологические свойства другого средства измерения при его применении или поверке. Например, точность измерения расхода газа или линейных размеров тел зависит от температуры, измеряемой термометром, который и является вспомогательным средством измерения.

Вспомогательные устройства, служащие для обеспечения операций измерений, передачи и обработки информации и т.п. составляют вид измерительных принадлежностей. К ним относятся источники питания, коммутаторы, усилители, термопары и др.

В условиях машиностроительного комплекса средства измерения, применяемые при изготовлении деталей условно подразделяется на измерительные инструменты и приборы и автоматические средства контроля. По назначению они могут быть универсальными и специальными, а по числу проверяемых параметров при одном установке детали: одномерные и многомерные. По степени механизации процесса измерения: средства измерения могут быть ручного действия, механизированные, полуавтоматические и автоматические.

В зависимости от степени точности СИ им присваивается класс точности. Общего определения «класс точности» в настоящее время не существует. Для СИ, у которых погрешность измерения определяется в соответствии с формулами (6.1) и (6.2) класс точности присваивается порядковым номером, начиная для самого точного с 1 и далее по мере возрастания погрешности.

Если погрешность определяется по формулам (6.3) или (6.5) класс точности СИ соответствует значениям относительной или приведенной погрешности, выраженной в %.

Например, если d = ±1%, то класс точности СИ 0,1, если приведенная погрешность g = ±1,5%, то класс точности СИ 1,5. Это справедливо для приведенной погрешности, нормируемой значением ФВ в принятых единицах. В тех случаях, когда погрешность нормируется длиной шкалы прибора l, класс точности также равен численному значению g, но обозначается по другому. Например, при g = 0,5% (X_N= l) класс точности - 0,5 а его обозначение приведено в таблице 6.1.

Если погрешность СИ определяется формулой (6.4) (мультикативная погрешность), то она обозначается c/d. Например, если d = ± , то класс точности СИ обозначается 0,02/0,01.

Проиллюстрируем это на следующем примере. Имеется вольтметр с пределами измерений (0...100) В. На него подается напряжение 50 В. Результат измерения - 48,5 В. Необходимо определить класс точности (по , d, g).

= 1,5 В, d = 3%, g = 1,5%.

По класс точности 6, по d класс точности - 3, по g класс точности - 1,5.

В таблице 13.1 представлены обозначения классов точности СИ.

Обозначения классов точности приведены в таблице 13.1.

Таблица 6.1.

Форма выражения погрешности	Предел допускаемой погрешности	Обозначение класса точности СИ
Приведенная погрешность, нормирующее значение выражается в единицах измеряемой ФВ (отношение к max значению шкалы или размаху)	g = 1,5%	1,5   0,5
Приведенная погрешность, нормирующее значение принято равным длине шкалы	g = 0,5%	0,5
Постоянная относительная погрешность (аддитивная)	d = 0,5%	0,5
Относительная погрешность меняется с изменением измеряемой ФВ (мультикативная)	d = ±	0,03/0,02

Контрольные вопросы

1 Что такое «средство измерения»?

2 Как можно классифицировать средства измерения по принципу действия?

3 Как можно классифицировать средства измерения по способу определения измеряемой величины?

4 Как можно классифицировать средства измерения по способу образования показаний?

5 Как может выражаться погрешность средств измерений?

6 Что такое аддитивная и мультикативная погрешности?

7 Как может определяться класс точности средства измерения?

Дата добавления: 2014-12-16