Наиболее часто применяемые на практике законы распределения случайных погрешностей

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

Нормальную функцию распределения имеют следующие случайные величины:

Флуктуационные погрешности разного рода.

Случайные погрешности средств измерений.

Погрешности, складывающиеся из достаточно большого числа (можно считать, что более 5) независимых составляющих при отсутствии доминирующей составляющей.

Равномерные функции распределения имеют:

Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.

Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.

Погрешности регулировки в допустимых пределах ±а.

Люфтовые погрешности.

Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.

Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 7.1.
Таблица 7.1

Закон распределения	Аналитическая зависимость	Область определения	Соотно-шения между параметрами	График функции
Нор-маль-ный		|х| £ а	а = 3s
Рав-номерный		|х| £ а	a=1,73s
Треу-голь-ный		|х| £а	a=2,45s
Трапецие-вид-ный			а=2,32s

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса).При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки. Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q: q=1-a,где a - вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q. Обычно на практике q принимают в пределах (1...5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ.Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения результатов наблюдений, подчиняющихся нормальному закону, описывается следующей формулой:

p_x(x)= exp - для результатов наблюдений,

p_D()= ×exp(- ) - для случайной погрешности.

Следует помнить, что

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [x₁, x₂] равна:

P = dx=

= exp[- ]dx.

Производя замену переменных t= , t₁= , t₂= и их подстановку, получим:

P{x₁<X£x₂}= exp(- )dt=

= [ exp(- )dt- exp(- )dt].

Широкое распространение нормального закона в практике объясняется тем, что распределение случайной погрешности формируется под воздействием достаточно большого числа случайных независимых факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное воздействие по сравнению с суммарным действием всех остальных факторов. Это явление описывается центральной предельной теоремой (часто называемой теоремой Лапласа).

Моменты функции распределения случайной погрешности , распределенной по нормальному закону:

М[ ]=m_x=0; D[ ]= ;

r_к= =0; Е_х= -3=0.

Дифференциальная функция равномерного распределения случайной величины и случайной погрешности (рис. 7.1) имеет вид:

Рис. 7.1

Область определения плотности вероятности или дифференциальной функции равномерного распределения следующая:

ì 0, если -¥<Х<m_x-а

Р_х = í 1/ 2а, если m_x-а£Х£m_x+а,

î 0, если m_x+a<X<+¥

Интегральная функция равномерного закона распределения (рис. 7.2) выглядит следующим образом:

Рис 7.2

Значения интегральной функции следующие:

ì 0, -¥<Х<m_x-а

F_x(x)= í m_x -а£Х£m_x+а

î 1, m_x+а<Х<+¥.

Числовые характеристики моментов равномерного распределения случайной погрешности следующие:

М =0 - математическое ожидание,

D = - дисперсия,

= - среднее квадратическое отклонение,

r_k= =0 -коэффициент асимметрии,

Е_х= -3=-1,2 - эксцесс.

Контрольные вопросы

1 Дифференциальная функция каких случайных величин обычно соответствует нормальному закону?

2 Дифференциальная функция каких случайных величин обычно соответствует равномерному закону?

3 Как математически выражается нормальный закон распределения, каковы области его определения?

4 Как математически выражается равномерный закон распределения, каковы области его определения?

5 Как математически выражается закон распределения по треугольнику, каковы области его определения?

6 Как математически выражается трапецеидальный закон распределения, каковы области его определения?

7 Каковы начальный и центральные моменты нормального и равномерного распределения?

Дата добавления: 2014-12-16