Обработка результатов измерений. Исключение систематических погрешностей

Конечной задачей обработки результатов любых измерений является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности.

Причем оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Как уже было сказано выше, оценка является состоятельной если при n, стремящимся к бесконечности, оценка стремится к истинному значению ФВ, несмещенной - математическое ожидание равно оцениваемому параметру, эффективной - ее дисперсия меньше любой, получаемой другим способом.

На первом этапе обработки результатов измерений оценивают наличие промахов (или грубых погрешностей). Затем проводится анализ наличия систематических погрешностей в ряде измерений , их обнаружение и исключение из результатов наблюдений. Получается исправленный ряд результатов наблюдений: .

Таким образом, исправленный ряд наблюдений - ряд, из которого исключены систематические погрешности.

Систематические погрешности могут быть классифицированы в зависимости от:

* причин их появления

* характера их проявления в процессе измерений.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные систематические погрешности возникают при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и настройке СИ.

Поскольку неисправленные результаты наблюдений содержат систематическую погрешность, то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой физической величины Q, т.е. оценка является смещенной.

Действительно:

;

- систематическая погрешность результата измерения.

Случайные отклонения V_i исправленных и неисправленных результатов наблюдений отличается:

Если систематическая погрешность постоянна, т.е. Q_i=Q, то и неисправленные отклонения могут быть использованы для оценки дисперсии ряда наблюдений (или СКО).

В противном случае необходимо предварительно исправлять результаты наблюдений, вводя в них поправки: , т.е. получают исправленный результат .

Т.о., для нахождения исправленного среднего значения необходимо обнаружить систематическую погрешность и исключить ее путем введения поправок.

Некоторые способы обнаружения систематических погрешностей.

Постоянные систематические погрешности не влияют на значение случайных отклонений результатов наблюдений от средних значений. Поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не позволяет их обнаружить. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях.

Прогрессирующие систематически погрешности могут быть обнаружены при помощи построения графика последовательности неисправленных результатов наблюдений или их отклонений от среднего значения (рис. 8.1).

отклонения неисправленных результатов наблюдений.

Систематические погрешности, изменяющиеся в процессе измерения, могут быть обнаружены статистическими методами:

Проверка статистической подконтрольности.

Для этого экспериментальные данные должны быть представлены несколькими группами результатов наблюдений.

Недопустимо большое рассеивание между групповыми средними или групповыми дисперсиями указывает на наличие систематических смещений между группами. Эта проверка проводится с помощью статистических критериев Аббе и Бартлетта.

Рассмотрим сущность критерия Аббе.

Первым шагом результаты измерения выстраиваются в исправленный вариационный ряд (неубывающий ряд).

Затем определяется значение параметра q_эксп.

; .

Следующим шагом проверятся условие q_эксп.<q_табл. Если это условие выполняется, то систематическая погрешность присутствует. Значения q_табл. Представлены в таблице 8.1.

Значения параметра q_табл.

Таблица 8.1.

n	q	n	q
	0.3902		0.5778
	0.4102		0.5908
	0.4451		0.6027
	0.4680		0.6137
	0.4912		0.6237
	0.5121		0.6330
	0.5311		0.6417
	0.5482		0.6498
	0.5636		0.6836

Естественно, что лучше сразу получать результаты измерений без систематической погрешности или с небольшой погрешностью. Полностью исключить систематическую погрешность в процессе измерений, как правило, не удается. Однако существуют специальные приемы, обеспечивающие исключение части систематической составляющей погрешности измерений. Рассмотрим основные из этих приемов.

Если систематические погрешности считают постоянными по характеру проявления, то применяют один из следующих четырех методов:

Исключение самого источника систематической составляющей погрешности измерений: например, путем предварительной установки измерительного прибора по уровню исключают погрешность от его неуравновешенной подвижной части.

Компенсация погрешности по знаку. Например, погрешность за счет вариаций показаний прибора исключают, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа, а затем вычисляют среднее значение.

Проводят симметричные измерения, например, для исключения погрешностей от гистерезиса, проходят по шкале вверх и вниз, так называемый «прямой» и «обратный» ход, а затем результаты усредняются (рис.8.2).

4. Измерение одной и той же ФВ несколькими независимыми методами с последующим вычислением среднего взвешенного значения результата измерения.

Из теории вероятностей известно, что такое среднее взвешенное значение. Если отдельные значения а_i величины А получены с различной степенью точности, характеризуемой средним квадратическим отклонением s_i (т.е. с различным СКО), то наиболее вероятным значением величины А является среднее взвешенное его значение:

где - вес,

- средневзвешенное значение А.

Систематическая погрешность, изменяющаяся в процессе измерения и обнаруженная статистическими методами, может быть в какой-то степени скомпенсирована только в случае знания закона ее изменения. Например, зависимость от температуры. Для выяснения характера зависимости группового среднего систематической погрешности используется регрессивный анализ, а для обнаружения связи между систематической погрешностью и измеряемой физической величиной используют корреляционный анализ. Изучение методов регрессивного и корреляционного анализа выходит за рамки рассматриваемых вопросов т.к. они достаточно сложны и для изучения требуют большего количества времени.

Правила и погрешности округления результатов наблюдений и вычислений.

Точность результатов наблюдений и последующих вычислений при обработке данных должны быть согласованы с необходимой точностью результатов измерений. Погрешность результатов измерений следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. Две значащие цифры следует давать в двух случаях:

1. При проведении высокоточных наблюдений;

2. Если погрешность выражена числом с цифрой старшего разряда £3

Например:

При обработке результатов наблюдений следует пользоваться правилами приближенных вычислений, а округление выполнять по следующим правилам:

1. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же порядка, что и погрешность. Если значение результата измерения оканчивается нулями, то нуль отбрасывается до того разряда, который соответствует разряду погрешности.

Пример: Погрешность равна ±0,0005 м

Поле вычислений получен результат измерения:

2. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр (слева направо) меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются.

Пример:

3. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или нулей, то округление производят до ближайшего четного числа, т.е. четную последнюю оставленную цифру или ноль оставляют без изменений, нечетную увеличивают на единицу:

Пример:

4. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр больше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу.

Пример: D=±12;

Формулы для вычисления погрешностей при некоторых операциях над числами

Математическая операция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
Z=a+b+с	Dz =Da + Db + Dc
Z=a-b
Z=	или
Z =
Z = a^n
Z =
Z=	при
Z=		при

Контрольные вопросы

1 Какова конечная задача обработки результатов измерений?

2 Что такое «неисправленный» и «исправленный» ряды наблюдений?

3 Как в метрологии классифицируются систематические погрешности?

4 Как можно обнаружить наличие систематических погрешностей в ряду наблюдений?

5 Что значит «средне взвешенное значение» результата измерения?

6 Каковы правила округления результатов наблюдений?

Дата добавления: 2014-12-16