Представление k-значных функций в виде нормальных форм

Основные понятия трехзначной логики

Трёхзначная логика была исторически первой многозначной логикой, и является простейшим расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трёхзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое трактуется как «неопределено», «неизвестно» или «ошибочно». В последнем случае логику обычно называют частичной.

Важным свойством трёхзначных логик, отражающим их адекватность, является то, что все они представляют собой расширения классической двузначной логики.

В трехзначной логике имеют место следующие соотношения:

1. Ø Ø x = x

2. x & x = x

3. x & 0 = 0

4. x & 2 = x

5.

6.

7.

8. x Ä 1 = x

9. x Ä 0 = 0

10. x Å 0 = x

11.

12.

Функции квази-дизъюнкции, квази-конъюнкции и отрицания связаны между собой формулами де Моргана.

x						j0	j1	j2

Теорема 2. Любая функция k - значной логики может быть представлена в виде СДНФ:

f(x₁,..., x_n) = v j_s1(x₁) & j_s2(x₂) &... j_sn(x_n) & f (s₁, s₂,..., s_n)

или в виде s-p формы:

f(x₁,..., x_n) = Å Ys₁ (x₁) & Ys₂ (x₂)... & Ys_n (x_n) Ä f (s₁,...,s_n).

Пример. Для функции, заданной таблицей истинности

x1	x2	f
	0дд 0

составить СДНФ и s-p форму.

Решение. Заметим, что значения x_i в таблице соответствуют индексам s_i при функциях j_i и Y_i. И в соответствии с выше обозначенными формулами можно записать:

f(x₁, x ₂) = j₀(x₁) & j₁(x₂) & 1 v j₀(x₁) & j₂(x₂) & 2

v j₂(x₁) & j₁(x₂) & 1.

f(x₁, x ₂) = Y₀(x₁) & Y₁(x₂) Ä 1 Å Y₀(x₁) & Y₂(x₂) Ä 2

Å Y₂(x₁) & Y₁(x₂) Ä 1.

Дата добавления: 2014-12-16