Основные правила дифференцирования

Пусть -дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

. (7)

Таблица производных основных элементарных функций

1) , где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 1: Найти производную функции в точке , пользуясь определением, если:

1) , ;

2) .

Решение. 1. Используем определение производной в виде формулы (1):

Поскольку по условию , то

2. По формуле (1) получаем

Далее, применив тригонометрическую формулу , получим:

Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:

Поскольку по условию , то

Пример 2: Вычислить производную функции , пользуясь определением производной.

Решение. Пусть произвольная фиксированная точка из . Пользуясь формулой (1), имеем:

Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции , функцию .

Пример 3. Найти производную функции:

1) ;

2) ; 3) .

Решение. 1. Дифференцируем функцию и используем формулы (4), (5) и таблицу производных, получаем:

2. Дифференцируем функцию по формулам (3), (4), (6) и соответствующим формулам таблицы производных:

3. Дифференцируем функцию по формулам (7), (5), (3) и первой формуле таблицы производных:

Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

1) 2) ;

3)

Решение. 1. Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:

Полученное выражение дифференцируем по формулам (4), (5), (6) и формулам таблицы производных:

2. Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Дальше воспользуемся формулами (3), (4), (5) и таблицей производных:

3. Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:

Полученное выражение дифференцируем по формуле (7) и соответствующим формулам таблицы производных.

Задания для самостоятельного решения

Дата добавления: 2014-12-16