Производная сложной функции

III уровень

II уровень

I уровень

1.1.Пользуясь определением, найдите производную функции:

1) 2)

1.2.Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.3. Найдите , если

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1.4.Вычислите:

1) , если: ;

2) если

;

3) если .

1.5. Вычислите , если

1.6.Вычислите , если .

1.7. Решите уравнение:

1) , где

2) , где .

2.1. Найдите производные , предварительно преобразовав выражение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.2. Для функции найдите

2.3.Известно, что . Найдите .

2.4. Решите неравенство , где .

3.1. Вычислите , если:

1) ,

2) , .

3.2. Пользуясь определением производной, найдите , где

3.3. Найдите значение производной функции в точке , если .

3.4.Найдите сумму значений производной функции в точках x = 1 и x = 0.

Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (8)

Обобщенная таблица производных:

1) , где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Если для функции существует обратная функция , которая имеет производную , то верна формула

. (9)

Пример 1: Найти производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и -- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:

2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:

3. Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

4. Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем:

5. Рассмотрим функцию как , где .

Функцию можно представить в виде , где . Тогда:

6. Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

Пример 2. Вычислить , если .

Дата добавления: 2014-12-16