КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Физический смысл производнойУравнение касательной и нормали. Ш уровень
3.1. Найдите производную функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. Найти производную функции, предварительно преобразовав выражение по тригонометрическим формулам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 6) . 3.3. Дана функция Определите, чему равно значение выражения . 3.4. Даны функции и . Найдите количество значений на отрезке , для которых выполняется равенство .
Производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке где - угол наклона касательной к оси Ox. В этом состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке где имеет вид (9) Прямая, проходящая через точку графика функции перпендикулярно касательной, проведённой в этой точке, называется нормалью к графику функции в точке Уравнение нормали имеет вид (10) где Физические приложения производной 1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией , то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t: (11) 2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости по времени t: (12)
3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоёмкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T: 4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l: 5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока по времени 6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени равна производной заряда по времени :
Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x = 2. Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (9). Сначала найдём ординату точки касания . Для этого значение подставим в уравнение функции: Для нахождения углового коэффициента найдём производную , используя формулу дифференцирования дроби: Найдём значение производной при : Подставляем найденные значения в формулу (9), получаем уравнение касательной: , т.е. Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (10): Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке имеет вид Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°. Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдём производную функции: . По условию Значит, . Отсюда , , . Получили два значения абсциссы точки касания: , , т.е. существует две точки касания, в которых касательная образует угол с осью . Найдём соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции: Приходим к ответу: в точках и касательная к заданной кривой образует с осью угол Пример 3. Найти острый угол между параболами и в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу. Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения - это угол между касательными к этим кривым, проведёнными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле: (13) где и -угловые коэффициенты заданных парабол. Найдём точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему: Отсюда Условие задачи удовлетворяет точка Найдём коэффициент Аналогично найдём : Воспользуемся формулой и получим: , откуда Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю. Решение. Согласно формуле (11) скорость есть производная пути, а, согласно формуле (12), ускорение есть производная от скорости. Последовательно вычислим производные: Найдём момент времени, когда ускорение равно нулю: Вычислим скорость движения тела в момент времени
Задания для самостоятельного решения.
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 832; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |