Случайные величины 5 страница

Так как события , образуют полную группу несовместных событий, то сумма всех вероятностей , стоящих в таблице, равна единице.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти закон распределения каждой составляющей:

(сумма вероятностей в столбце таблицы);

(сумма вероятностей в строке таблицы).

Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайнойвеличины:

-1	0,12	0,28	0,11
	0,21	0,14	0,14

Составить законы распределения случайных величин и .

Случайная величина имеет распределение:

	0,33	0,42	0,25

Для случайной величины получаем ряд:

	-1
	0,51	0,49

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , которая имеет смыс как для дискретных, так и для непрерыв- ных случайных величин. Геометрически это равество можно истолковать, как вероятность того, что случайная точка попадает в бесконечный квадрат с вершиной в точке , расположенный левее и ниже этой вершины.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

Свойство 1. .

Свойство 2. Функция распределения - неубывающая функция по обоим аргументам, т.е.

Свойство 3. Для всех и выполняются следующие соотношения:

Свойство 4. Функции распределения составляющих можно найти из равенств:

Определение. Плотностью совместного распределения ве- роятностей двумерной непрерывной случайной величины назы- вается вторая смешанная производная от фукнкции распреде –ления, т.е.

.

Пример 2. Дана функция распределения системы случайных величин : Найти её плотность распределения.

Пусть известна плотность распределения системы случай - ных величин - . Тогда функцию распределе -ния можно найти, используя равенство:

,

Это непосредственно следует из определения плотности рас- пределения.

Вероятность попадания в область определя -ется равенством

СВОЙСТВА ДВУМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Свойство 1. Двумерная плотность распределения всегда по- ложительна:

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконеч - ными пределами интегрирования от плотности распределения равен единице

Если известна плотность совместного распределения веро- ятностей системы двух случайных величин, то можно найти плотности распределения каждой составляющей. но . Тогда

.

Аналогичным образом получаем

,

где

Пример 3. Пусть дана двумерная плотность распределения

Найти плотности распределения случайных величин и

при и равна нулю вне этого промежутка. Аналогично, ввиду симметрии функции относительно и , получаем:

8.2 Условные законы распределения.

Понятие, аналогичное понятию условной вероятности для случайных событий , можно ввести для характеристики зависимости между случайными величинами.

Рассмотрим отдельно случаи дискретной и непрерывной двумерной случайной величины.

а) Для дискретной двумерной сдучайной величины, заданной таблицей:

условные вероятности вычисляются по формулам:

Замечание. Суммы соответствующих условных вероятностей равны единице, т.е.

Пример 4. Пусть дискретная случайная величина задана таблицей:

-1	0,12	0,28	0,11
	0,21	0,14	0,14

Найти условный закон распределения составляющей при условии, что случайная величина приняла значение .

Тогда

Очевидно, что сумма этих вероятностей равна единице.

б) Для Непрерывной двумерной случайной величины услов -ной плотностью распределения составляющей при данном значении называют отношение

,

аналогично, условной плотностью распределения при данном значении - .

Пример 5. Пусть плотность совместного распределения не- прерывной двумерной случайной величины задана функцией: . Найти условные плотности распределения составляющих.

При вычислении использовали интеграл Пуассона

Тогда условные плотности распределения имеют вид:

8.3 Условное математическое ожидание.

Определение. Условным математическим ожиданием диск- ретной случайной величины при называется сумма произведений возможных значений на их условные вероят -ности:

аналогично

Пример 6. Пусть двумерная дискретная случайная величи -на задана таблицей:

-1	0,12	0,28	0,11
	0,21	0,14	0,14

Найти условные математические ожидания: при и при

Тогда

Тогда

Для непрерывных величин:

8.4 Зависимые и независимые случайные величины.

Определение. Две случайные величины называются незави- симыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. Из этого определения следует, что условные законы распределения независимых случайных величин равны их бе – зусловным законам распределения.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выпол -нялось равенство:

Доказывать теорему не будем, но как следствие, получаем:

Следствие. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плот -ность совместного распределения системы была рав -на произведению плотностей распределения составляющих, т.е.

8.5 Числовые характеристики системы двух случайных

величин. Корреляционный момент. Коэффициент

корреляции.

Определение. Корреляционным моментом системы слу- чайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

(1)

Замечание 1. Нетрудно убедиться, что корреляционный мо -мент можно записать в виде:

Замечание 2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю.

Это следует из условия независимости случайных величин.

Замечание 3. Для корреляционного момента случайных ве – личин и выполняется неравенство

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного мо -мента к произведению средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

(2)

Если случайные величины независимы, то их корреляци- онный смомент равен нулю и, соответственно равен нулю их коэффициент корреляции.

Учитывая замечание 3, получаем основное свойство коэффициента корреляции:

(3)

Пример 7. Рассмотрим случай системы дискретных случай- ных величин, распределение которых забано таблицей:

-1	0,12	0,14	0,11	0,07
	0,12	0,14	0,07	0,04
	0,05	0,07	0,04	0,03

Найти математические ожтдания и дисперсии составляющих и найти для них коэффициент корреляции .

Найдём одномерные законы распределения составляющих

и их числовые характеристики.

Для

	0,29	0,35	0,22	0,14

Для

	-1
	0,44	0,37	0,19

Математическое ожидание произведения:

Тогда корреляционный момент равен:

И окончательно, коэффициент корреляции равен:

Это означает, что случайные величины и имеют очень слабую зависимость.

Рассмотрим аналогичную задачу для случая непрерывных случайных величин.

Пример 8. Пусть система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью:

где область . Найти значение параметра , числовые характеристики случайных величин и и их коэффициент корреляции .

Область - это треугольник:

0 2

Сначала найдём значение параметра , учитывая ос -новное условие плотности распределения:

В нашем случае,

Отсюда, и плотность распределения имеет вид:

Найдём числовые характеристики составляющих.

Так как функция и область симметричны относи -тельно и , то числовые характеричтики случайных вели -чин и совпадают, т.е.

Математическое ожидание произведения случайных величин

Корреляционный момент равен:

И окончательно,

8.6. Коррелированность и зависимость случайных

величин

Определение. Две случайные величины и называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) отличен от нуля.

Коррелированные величины являются зависимыми. Обрат -ное предположение не всегда имеет место, т.е. зависимые случайные величины могут быть и коррелированными и не коррелированными. Если случайные величины независимые, то они обязательно некоррелированы.

Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Пусть двумерная случайная величина за – дана плотностью распределения:

Доказать, что и - некоррелированные величины.

Дата добавления: 2014-11-29