К контрольной работе № 3

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда, по 1 нКл каждый, расположены в вершине равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд надо поместить в центр треугольника, чтобы система находилась в равновесии?

Р е ш е н и е

Все три заряда находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, при каких условиях будет находиться в равновесии один из трёх зарядов, например q ₁ (рисунок 1).

Рисунок 1

Заряд будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него сил равна нулю:

,

где – сила, действующая на заряд q ₁ со стороны заряда q_i; – векторная сумма сил и .

Перейдя к модулям сил, получим F ₁ - F _1,4 = 0. Выразив F ₁ через F _1,2 и F _1,3 и учитывая, что F _1,2 = F _1,3, получим:

Применив закон Кулона и имея в виду, что q ₁ = q ₂ = q ₃, запишем:

откуда следует соотношение для искомого заряда

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует:

С учётом этого получим

О т в е т: q ₄ = 0,58 нКл.

Пример 2. Тонкий прямой стержень длиной 15 см равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 0,1 мКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q₀ = 10 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.

Р е ш е н и е

Здесь нельзя определить силу взаимодействия зарядов непосредственно по закону Кулона, т.к. заряд, распределённый по стержню, нельзя считать точечным. Чтобы применить закон Кулона, рассмотрим бесконечно малый элемент длины dх стержня, находящийся на расстоянии х от заряда q ₀ (рисунок 2). Заряд этого элемента dq = t dx.

По закону Кулона на заряд q ₀ со стороны заряда dq будет действовать сила

Рисунок 2  

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q ₀ также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и dF. Сложив их модули, найдём искомую силу, равную результирующей силе действия всех элементов стержня на заряд q ₀:

.

Вынеся постоянные множители за знак интеграла, получим

Проверим, дает ли конечная формула единицу силы. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим обозначения их единиц и используем для их преобразования определения физических величин:

Произведем вычисления, предварительно переведя все значения единиц в систему СИ:

О т в е т: F = 5×10^-5 Н.

Пример 3. Расстояние между двумя точечными зарядами 2 нКл и – 3 нКл, расположенными в вакууме, равно 20 см. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 15 см и от второго заряда на 10 см.

Д а н о: q ₁ = 2 нКл, q ₂ = – 3 нКл, l = 20 см, r ₁ = 15 см, r ₂ = 10 см, ε = 1 E –? φ –?

Р е ш е н и е

Согласно принципу суперпозиции ,где и – напряженности электрических полей в рассматриваемой точке, которые создавались бы каждым из зарядов при отсутствии других (направления векторов показаны на рисунке 3).

Модули напряженностей электрических полей, создаваемых в вакууме точечными зарядами q ₁ и q ₂,

Рисунок 3

, . (1)

Модуль вектора найдем по формуле, которая следует из теоремы косинусов (для используемого при сложении векторов параллелограмма cos a = – cos b):

. (2)

По теореме косинусов для треугольника q ₁ Аq ₂

,

откуда следует, что

Удобнее отдельно рассчитать эту величину, чтобы не загромождать конечную формулу:

Подставив (1) в формулу (2), получим искомую напряженность:

Согласно принципу суперпозиции потенциал результирующего поля φ = φ₁ + φ₂ , где и – потенциалы электрических полей в рассматриваемой точке, которые создавались бы каждым из зарядов при отсутствии других. Отсюда следует:

.

Конечные формулы по структуре совпадают с аналогичными формулами для напряженности и потенциала точечного заряда, поэтому проверку единиц для них можно не проводить.

Произведем вычисления, предварительно переведя все значения единиц в систему СИ:

О т в е т: F = 1,35·10^-6 Н; Е = 3 кВ/м; φ = – 150 В.

Пример 4. Найти напряжённость и потенциал в центре полукольца радиусом R = 5 см, по которому равномерно распределён заряд q = 3×10^-9 Кл.

Д а н о: R = 5 см, q = 3 нКл, ε = 1 E –? φ –?

Р е ш е н и е

Физическую систему составляют: равномерно заряженное зарядом q полукольцо и электрическое поле этого заряда. Для определения модуля напряжённости Е и потенциала j в центре полукольца воспользуемся принципом суперпозиции. Разделим полукольцо на малые элементы дуги dl так, чтобы заряд dq = t dl = qdl /(p R)

Рисунок 4

каждого такого элемента дуги можно было считать точечным. Выберем два про-извольных симметрично расположенных от-носительно оси О x элемента дуги dl (рисунок 4).

Напряжённость электростатического поля в точке О, созда-ваемого выбранными элементами dl, сог-ласно принципу суперпозиции,

где и – напряженности полей, которые создавал бы каждый из выбранных элементов по отдельности.

Из соображений симметрии следует, что алгебраическая сумма проекций напряжённостей полей выбранных элементов на ось О у равна нулю, поэтому напряженность результирующего поля направлена вдоль оси О х:

Так как то

Положение точечного заряда dq на полукольце определяется углом a, поэтому его и выберем в качестве переменной интегрирования:

Потенциал в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов электрического поля d j элементарных зарядов (согласно принципу суперпозиции). Учитывая, что для точечного заряда в вакууме потенциал d j = dq /4pe₀ R, определяем j:

Конечные формулы по структуре совпадают с аналогичными формулами для напряженности и потенциала точечного заряда, поэтому проверку единиц для них можно не проводить.

Произведем вычисления, предварительно переведя все значения единиц в систему СИ:

;

.

О т в е т: Е = 6,88×10³ В/м, j = 539 В.

Пример 5. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла с v₁ = 1 Мм/с до v₂ = 5 Мм/с.

Д а н о: v ₁ = 1 Мм/с, v ₂ = 5 Мм/с U –?

Р е ш е н и е

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении электрона из точки 1 в точку 2,

A = e (φ₁ – φ₂ ),

где φ₁ и φ₂ – потенциалы электростатического поля, соответственно, в точках 1 и 2.

По теореме об изменении кинетической энергии, последняя равна работе действующей на тело (в данном случае, на электрон) силы (в данном случае, со стороны электрического поля):

A = T ₂ – T ₁ = .

Приравняв оба выражения, получим ускоряющую разность потенциалов:

.

Произведем проверку единиц, аналогично примеру 2:

Подставим в формулу значения величин и произведем вычисления:

О т в е т: φ ₁ – φ₂ = 68,3 В.

Пример 6. Определить начальную скорость сближения двух протонов, находящихся на очень большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние r _min, на которое они могут сблизиться, равно 10^-11 см.

Д а н о: r_min = 10^{-11 см,} m =1,67·10^{-27 кг,} q = 1,6·10^-19 Кл v ₀ –?

Р е ш е н и е

Система тел, состоящая из двух протонов, является замкнутой, поэтому ее центр масс все время движется с постоянной скоростью относительно лабораторной системы отсчета. Удобно выбрать систему отсчета, связанную с центром масс, т. к. она, в силу вышесказанного, все время будет являться инерциальной. В этой системе отсчета протоны всегда будут иметь одинаковые по модулю скорости (направленные навстречу друг другу). В начальном состоянии (когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга) модули скорости v ₁ каждой частицы равны половине искомой скорости, т. е. v ₁ = /2.

Применим закон сохранения энергии, согласно которому полная механическая энергия изолированной системы постоянна:

Е = Т + П,

где Т - сумма кинетических энергий протонов; П - потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

В начальном состоянии протоны находились на достаточно большом расстоянии друг от друга, поэтому их начальной потенциальной энергией можно пренебречь (П ₁ = 0).

Полная энергия в этот момент времени будет равна кинетической энергии протонов:

Е = Т ₁. (1)

В конечном состоянии, когда протоны максимально сблизятся, их скорости и кинетические энергии будут равны нулю (в используемой системе отсчета), а полная энергия будет равна потенциальной энергии взаимодействия протонов:

Е = П ₂. (2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Т ₁ = П ₂. (3)

Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий протонов:

. (4)

Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов, находящихся в вакууме, определяется по формуле

. (5)

С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид

, откуда .

Произведем проверку единиц:

Выполним вычисления по полученной формуле:

О т в е т: v ₀ = 2,35 Мм/с.

Пример 7. Положительные заряды q ₁ =3 мкКл и q ₂ = 20 нКл находятся в вакууме на расстоянии 1,5 м друг от друга. Определить работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния 1 м.

Д а н о: q ₁ = 3 мкКл, q ₂ = 20 нКл, ε = 1, l ₁= 1,5 м, l ₂ = 1 м A' –?

Р е ш е н и е

Можно положить, что первый заряд q ₁остается неподвижным, а второй q ₂ под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом q ₁,приближаясь к нему с расстояния r ₁ = 1,5 м до r ₂ = 1м.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда q из одной точки поля с потенциалом φ₁ в другую, потенциал которой φ₂, равна по абсолютной величине и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками

A' = – А.

Это следует из теоремы об изменении кинетической энергии тела: если кинетическая энергия не изменяется (предполагаем это), то полная работа всех сил равна нулю (A' + А = 0).

Работа А сил электрического поля по перемещению заряда выражается формулой

A = q (φ₁ – φ₂ ).

Тогда работа А' внешних сил может быть записана в таком виде:

A' = q (φ₂ – φ₁). (1)

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами:

, .

Подставляя эти выражения в формулу (1) и учитывая, что для данного случая переносимый заряд q = q ₂,получим:

.

Произведем проверку единиц:

Выполним вычисления по полученной формуле:

О т в е т: А '= 1,8·10^–4 Дж.

Дата добавления: 2014-12-16