Волновое уравнение для электромагнитных волн. Скорость электромагнитных волн

Запишем первые два уравнения Максвелла в дифференциальной форме для однородного и изотропного диэлектрика:

(8.5.1)

и предположим, что поле переменно во времени (т.е. правые части уравнений отличны от нуля), но не зависит от координат x и y, а только от z. Тогда, по определению ротора, имеем

, . (8.5.2)

Подставив эти соотношения в уравнения Максвелла, первое из этих уравнений продифференцируем по t, а второе – по z. Потом умножим первое на и сложим со вторым. Получим

. (8.5.3)

Это уравнение гармонической волны (оно, естественно, оказывается справедливо и для других компонент электромагнитного поля). Таким образом, в однородной среде при отсутствии источников, электромагнитное поле оказывается волной, бегущей сфазовой скоростью

, (8.5.4)

где константа оказывается равной скорости света в вакууме. Этим результатом Дж. К. Максвелл теоретически показал, что свет – это электромагнитная волна, еще до экспериментального подтверждения своей теории. Знаменатель в формуле (8.5.4) для фазовой скорости описывает замедление волны в диэлектрической среде по сравнению со случаем волны в вакууме. Напомним, что в вакууме диэлектрическая и магнитная проницаемости равны единице.

В области, свободной от зарядов и токов, электромагнитное поле не обязательно является плоской гармонической волной. Оно может быть произвольным пучком лучей данной частоты или волновым пакетом со сложным спектром, но формула (8.5.4) для фазовой скорости каждой частотной компоненты остается той же самой.

Дата добавления: 2014-12-16