Решение. 1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем значение всех сумм:

N п/п	y	x	ух	x^2	y^2
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733.44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271.84	3588.01	57,1	2.8	4»7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-L5	2.7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948.49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55,2	2121,36	3047,04	2430.49	57.8	-8,5	17,2
	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7

Определяем значение параметра b

=

Среднее значение переменных

(14)

(15)

С их помощью определим параметр а:

= 57,89 + 0,35 • 54,9 = 77,11

Получаем уравнение линейной регрессии:

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 процентных пункта.

Линейный коэффициент парной корреляции:

Здесь

Cвязь умеренная обратная.

Коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента корреляции:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (колонка 6), а также разности между измеренными значениями и рассчитанными (колонка 7). Величины ошибок аппроксимации в колонке 8 рассчитаем как абсолютную величину значений в колонке 7 по отношению к измеренным значениям в колонке 1 в процентах:

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%

Рассчитаем средний коэффициент эластичности линейной регрессии:

В среднем при увеличении х на 1% значение у уменьшается на 0.33%

Рассчитаем значение F-критерия:

Поскольку гипотезу Н_о о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения следует принять.

Теперь рассчитаем прогнозное значение по линейной модели при прогнозном значении фактора .

Прогноз результата: .

Определим доверительный интервал для этого прогноза. Для этого нам надо рассчитать стандартную ошибку прогноза по формуле:

Здесь:

Доверительный интервал рассчитывается так:

Здесь: (берем двухстороннее значение t-критерия Стьюдента): t(0,05;5) = 2,57

Доверительный интервал равен: (39,42;74,38)

Истинное значение прогноза с вероятностью 0,95 попадает в этот интервал.

Задание 1.

Вариант 1.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.:

Район	Средний размер назначенных пенсий, тыс.руб., (у)	Прожиточный минимум на одного пенсионера, тыс. руб., (х)
Владимирская область
Ивановская область
Калужская область
Костромская область
г. Москва
Московская область
Смоленская область
Тверская область
Тульская область
Ярославская область

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4 Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 2.

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г.

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб. (у)	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб. (х)
Республика Марий Эл
Республика Мордовия
Чувашская республика
Кировская республика
Нижегородская область
Белгородская область
Воронежская область
Курская область
Липецкая область
Тамбовская область
Республика Татарстан
Астраханская область
Волгоградская область
Пензенская область
Саратовская область

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимациикачествоуравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 3.

По территориям Северного, Северо-западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., (y)	Денежные доходы на душу населения, тыс, руб., (х)
Северный
Республика Карелия
Республика Коми
Архангельская область
Вологодская область
Мурманская область
Северо - Западный
Ленинградская область
Новгородская область
Псковская область
Центральный
Брянская область
Владимирская область
Ивановская область
Калужская область
Костромская область
Московская область
Орловская область
Рязанская область
Смоленская область
Тверская область
Тульская область
Ярославская область

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 4.

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расхо­ды на душу населения, тыс.руб., (у)	Денежные расходы на душу населения, тыс. руб., (х)
Восточно-Сибирский
Республика Бурятия
Республика Тыва
Республика Хакасия
Красноярский край
Иркутская область
Усть-Ордынский Бурятский автономный округ
Читинская область
Дальневосточный
Республик Саха (Якутия)
Еврейская авт. обл.
Приморский край
Хабаровский край
Амурская область
Камчатская область
Магаданская область
Сахалинская область

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимациикачествоуравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Вариант 5.

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., (у)	Денежные расходы на душу населения, тыс. руб., (х)
Уральский
Респ. Башкортостан
Удмуртская область
Курганская область
Оренбургская область
Пермская область
Свердловская область
Челябинская область
Западно-Сибирский
Республика Алтай
Алтайский край
Кемеровская область
Новосибирская область
Омская область
Томская область
Тюменская область

1. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надеж­ность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное зна­чение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Второе задание предполагает изучение многофакторного корреляционно-регрессионного анализа и расчет характеристик уравнения множественной регрессии с целью получения достоверных статистических выводов о наличии зависимости между результативным и факторными признаками.

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

(16)

где у - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы);

- параметры;

- случайная величина (ошибка).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

(17)

Параметры этой системы могут быть найдены, например, методом К. Гаусса.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

(18)

где , - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК.

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

(19)

Параметр а определяется как

(20)

Средние частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по следующей формуле:

(21)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

(22)

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для стандартизованном масштабе можно записать в виде

(23)

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора определяются по следующим формулам:

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками и у при исключении влияния признака вычисляют по формуле:

; (24)

то же - зависимость у от при исключении влияния :

(25)

Взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

, (26)

где r - парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по следующим формулам:

; (27)

; (28)

(29)

Среднеквадратические отклонения вычисляются по формулам:

(30)

(31)

(32)

На основе парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений можно рассчитать параметры уравнения двухфакторной связи по формулам:

; (33)

; (34)

(35)

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

(36)

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(37)

где n - число наблюдений;

m - число факторов (независимых переменных в уравнении).

Решение типового примера 2.

По 20 предприятиям региона (табл. 1) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Таблица 1

Номер предприятия	у
	7.0	3,9	10,0
	7.0	3.9	14,0
	7,0	3.7	15.0
	7,0	4,0	16.0
	7,0	3,8	17,0
	7,0	4,8	19,0
	8,0	5,4	19,0
	8,0	4,4	20,0
	8,0	5,3	20,0
	10,0	6,8	20,0
	9,0	6,0	21,0
	11,0	6,4	22,0
	9,0	6,8	22,0
	11,0	7,2	25,0
	12,0	8,0	28,0
	12,0	8,2	29,0
	12,0	8,1	30,0
	12,0	8,5	31,0
	14,0	9,6	32,0
	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.

В пп. 2. и 3. на основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

5. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Дата добавления: 2014-12-16