Пример расчета балки несимметричного сечения

Сложное сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 100х100х10 (рис. 7). Геометрические характеристики:

швеллера

F₁ = 23,4 см²; Jх₁= 1520 см⁴; Jy₁ = 113 см⁴; Z₀₁ = 2,07 см; h = 20 см;

уголки

F₂ = 19,20 см²; Jx₂ = Jy₂ = 179 см⁴; J_max = Jx₀ = 284 см⁴;

J_min = Jx₀ = =74,1 см⁴; Z₀₂ = 2,83 см.

Выбираем в качестве вспомогательных осей центральные оси швеллера и определяем координаты центра тяжести сечения по формулам:

Рис 7

Отложив полученные значения от осей х₁ и у₁, находим положение центра тяжести сечения тяжести сечения Проводим центральные оси х_с и у_с и относительно этих осей находим осевые моменты инерции сечения по формулам:

Координаты центров тяжести швеллера и уголка относительно осей х_с и у_с будут:

b₁ = y_c = 3,23 см;

b₂ = – y_c – z₀₂ = 10 – 3,23 – 2,83 = 3,94 см;

α₁= – x_c = –2,21 см;

α₂ = z₀₁ + z₀₂ – x_c = 2,07 + 2,83 – 2,21 = 2,69 см.

Центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей х₂ и у₂ будет:

Учитывая, что центробежный момент инерции для швеллера равен нулю (Jx₁y₁ = 0), определяем центробежный момент по формуле:

Jx_cy_c = a ₁b₁F₁ + Jx₂y₂ + a ₂b₂F₂ =

= (–2,21)(–3,23) · 23,4 + 105 + 2,69 · 3,94 · 19,2 = 475,5 см⁴.

Положение главных центральных осей определим по формуле:

tg2α₀ = = – 0,56,

откуда 2a₀ = -29,25° a₀ = -14,62°.

Поворачиваем центральные оси х_с и у_с по часовой стрелке на угол 14,62° и обозначаем оси через х и у.

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции по формуле:

= ± =

= ± = 1393,2±972,2

или окончательно получаем J_max = 2365,4 см⁴ J_min = 421 см⁴.

Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (у_с или х_с), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение, Поэтому Jх = J_max = 2365,4 см⁴, Jy = J_min = 421 см⁴.

Выполним проверку правильности вычислений:

1. Jx_c + Jy_c = J_max + J_min = 2241,2 + 545,2 = 2365,4 + 421 = 2786,4 см⁴;

2.

Определим моменты сопротивлений относительно осей х и у:

см,

см

Y_max и X_max снимаются с чертежа.

Определим грузоподъемность балки по первой схеме нагружения. В этом случае максимальный изгибающий момент будет в заделке и равен М_max = Pℓ. Поэтому из условия прочности по нормальным напряжениям получим:

Откуда

Во втором случае нагружения максимальный изгибающий момент будет по середине балки и равен M_max=

Поэтому получим:

Откуда:

Дата добавления: 2014-12-17