Интегрирование рациональных дробей

Метод интегрирования по частям

Пусть даны две непрерывные в некоторой области функции и . Известно, что . Интегрируя левую и правую части этого равенства, получим

.

В левой части этого равенства находятся два симметричных по форме интеграла. Если один из них (например, второй) вычисляется просто, то другой (первый) можно вычислить по формуле

, (6.1)

которая и называется формулой интегрирования по частям.

Эта формула применяется для интегрирования достаточно широкого класса функций.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим . Тогда , а , по формуле (6.1) получим

v

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. v

Рациональной дробью называется дробь вида , где и — многочлены степени и соответственно.

Если , то дробь называется правильной, если , то дробь называется неправильной. Неправильную рациональную дробь можно преобразовать, представив ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби, например,

.

Разделим числитель на знаменатель «уголком»:

Следовательно, .

Так как целая часть интегрируется легко, то задача сводится к интегрированию правильных рациональных дробей и решается в два этапа:

1. Представление произвольной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей.

2. Интегрирование простейших рациональных дробей.

К простейшим рациональным дробям относятся дроби вида

, где - натуральное число и дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, .

Вычислим интегралы от указанных дробей.

1. .

2.

.

3. .

Выделим в знаменателе полный квадрат

.

Обозначим , тогда .

Таким образом,

.

Возвращаясь к исходной переменной, получим

,

где .

Рациональная дробь четвертого вида встречается достаточно редко, и ее интегрирование мы рассматривать не будем.

Схему разложения правильной рациональной дроби на простейшие покажем на примере.

Пусть знаменатель дроби уже представлен в виде произведения линейных и квадратных сомножителей (с отрицательным дискриминантом) различной кратности, например:

.

Тогда дробь можно представить в виде

Здесь каждому множителю знаменателя соответствует столько дробей, какова кратность этого множителя. Линейным множителям в числителях соответствуют постоянные числа, квадратным множителям – многочлены вида . Если множителей будет больше и их кратность выше, то правая часть соответствующим образом увеличивается. Для нахождения неизвестных коэффициентов все дроби в правой части приводятся к общему знаменателю (который будет равен знаменателю левой части) и приравниваются друг другу числители левой и правой частей. Из этого сравнения получается система уравнений, из которой находятся все неизвестные коэффициенты.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, , то

Отсюда получаем

,

или ,

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим:

Таким образом,

. v

Дата добавления: 2014-12-17