Метод подстановки или замены переменной

Непосредственное интегрирование

В простейших случаях интегралы вычисляются прямым применением формул (1) – (19).

Пример. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулами (1), (2), (4). Получим

.

Здесь мы применили известные формулы и . Следовательно,

.

Проверим найденный результат дифференцированием. Найдем

,

что совпадает с подынтегральным выражением, а следовательно, интегрирование проведено правильно. v

Суть метода в том, что переменную интегрирования x заменяем на некоторое выражение, зависящее от новой переменной , где – непрерывная, вместе со своей производной, функция от аргумента t. Затем находим и переходим под интегралом к новой переменной t. Вычислив этот интеграл, возвращаемся к исходной переменной x.

Соответствующая формула имеет вид

.

В некоторых случаях, через новую переменную удобно заменить не x, а некоторое выражение, зависящее от x, т.е. сделать подстановку и, вычислив новый интеграл, вернуться к переменной x:

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , тогда и . Поэтому интеграл преобразуется к виду

.

Из подстановки найдем и . Тогда .

Таким образом, мы получили табличный интеграл

. v

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку . Тогда . Переходя под интегралом к переменной , получим

.

Возвращаясь к переменной , найдем окончательно .

Сделаем проверку , что совпадает с подынтегральным выражением. v

Дата добавления: 2014-12-17