Функции нескольких переменных

Определение. Переменная z называется функцией переменных x и y, если каждой паре значений x и y из некоторой области их изменения поставлено в соответствие определенное значение z.

Функциональная зависимость z от x и y записывается в виде:

z=F (x, y).

Аналогичным образом определяются функции трех и более переменных. В этой работе используются только функции двух переменных, поэтому все определения и задачи будут проиллюстрированы только такими функциями.

Функции двух переменных допускают геометрическую интерпретацию. Графиком функции z=f (x, y), определенной в области G, называется множество точек (x, y, z) пространства, у которых (x, y) принадлежат G и z=f (x, y). В наиболее простых случаях такой график представляет некоторую поверхность.

Функция z=f (x, y) называется непрерывной в точке М ₀(х ₀, y ₀), если справедливо равенство: . Например, функция непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки О (0,0), где имеется бесконечный разрыв.

Функция, непрерывная во всех точках области G, называется непрерывной в данной области.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-либо переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, при этом другие переменные считаем фиксированными (постоянными).

Определение. Для функции двух переменных z=f (x, y) в точке А (х ₀, y ₀) частные производные определяются следующим образом:

,

,

если эти пределы существуют.

Из определения частных производных следует, что правила их вычисления остаются такими же, как и для функций одной переменной, только необходимо помнить по какой переменной ищется производная.

Пример. а) z=2x+y³ ; .

б) ,

. v

Полным приращением функции z=f (x, y) называется разность Главная часть полного приращения функции z=f (x, y), линейно зависящая от приращения независимых переменных D x и D y, называется полным дифференциалом функции z и обозначается dz.

Если функция имеет непрерывные частные производные в точке (x,y), то полный дифференциал существует и равен .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Сначала находим частные производные

, .

По формуле полного дифференциала получаем

. v

Полный дифференциал используется для приближенных вычислений значений функций, при этом полагаем , т.е.

Дата добавления: 2014-12-17