Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Рассмотрим интегралы вида

,

где — рациональная функция своих аргументов. Указанные интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой , где .

Аналогичной подстановкой вычисляются интегралы указанного вида, если в подкоренных выражениях вместо содержатся выражения вида или .

Интегралы вида вычисляются таким же методом, как и интегралы от простейших рациональных дробей третьего вида.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , сделаем подстановку .

Тогда и .

Разделив на , получим

, где .

Следовательно,

v

Укажем несколько классов тригонометрических выражений, интегралы от которых встречаются довольно часто, и методы интегрирования этих выражений.

Интегралы вида вычисляются в общем случае с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда заменяются по формулам: и под интегралом получится рациональная дробь, которую мы уже умеем интегрировать.

Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел или нечетно, вычисляются подстановкой:

, если нечетно;

, если нечетно.

Если же и - четные натуральные числа, то применяем для преобразования подынтегрального выражения тригонометрические формулы понижения степени

.

Интегралы вида вычисляются также с помощью формул тригонометрии, преобразующих произведения тригонометрических функций в их сумму:

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

.v

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

. v

Пример. Вычислить интеграл .

Дата добавления: 2014-12-17