Линейные уравнения первого порядка

Однородные уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Если функция удовлетворяет условию , т.е. является однородной функцией нулевого порядка, то данное уравнение называется однородным.

Полагая в равенстве переменную равной , получим , или . Это означает, что однородная функция нулевого порядка может быть выражена через отношение . Поэтому для решения данного уравнения применяют подстановку или , где – неизвестная функция от . Найдя ее, найдем и – решение данного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Находим ; ; . Так как правая часть зависит от , то уравнение является однородным. Делаем подстановку: , тогда и получаем , , , , , интегрируя, получим , , . Следовательно, — общее решение данного уравнения. v

Линейными уравнениями первого порядка называется уравнение вида , где и — заданные непрерывные функции от .

Для решения таких уравнений делаем подстановку . Тогда и уравнение примет вид или . Выберем теперь так, чтобы . Для этого надо решить последнее уравнение. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и решается просто. Найдя , из уравнения находим функцию , а значит, и . Таким образом, уравнение распадается на систему двух более простых уравнений с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Сделаем подстановку , где и – неизвестные пока функции от . Тогда и уравнение принимает вид:

или .

Выбираем так, чтобы . Решаем это уравнение , ; ; интегрируя, получим: ; ; . Подставляя это значение в равенство , получим:

; ; ; .

Таким образом, – общее решение данного уравнения. v

Замечание. Уравнение вида при не является линейным. Оно называется уравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .

Дифференциальные уравнения высших порядков

Перейдем к рассмотрению дифференциальных уравнений высших порядков, начиная со второго. Дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид

.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , которая при любых значениях произвольных постоянных обращает уравнение в тождество и из которой специальным подбором и можно получить любое частное решение.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения второго порядка, общее решение которых находится понижением порядка уравнения.

1. Уравнение вида . Имеем , тогда , , . Далее , поэтому и , где — одна из первообразных функций для .

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка .

Решение. ; ; ; . Интегрируя, находим .Далее ; ; , интегрируя, получаем

– общее решение. v

Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.

2. Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции : .

Делая замену , получим , и уравнение принимает вид . Решая это уравнение первого порядка, находим функцию , азатем, из подстановки , путем интегрирования находим неизвестную функцию .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Делаем подстановку . Тогда . Получим

, ; ; .

Интегрируя последнее уравнение, найдем ; . Так как , то ; , откуда – общее решение данного уравнения. v

3. Уравнения, явно не содержащие независимую переменную : .

В этом случае, исходя из подстановки , где – функция от ,находим . Подставляя в исходное уравнение значения и ,получаем уравнение первого порядка относительно функции ,найдя которую, из подстановки , находим .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Делая подстановку , , получим , . Интегрируем обе части уравнения: ; ; ; . Так как , то ; ; ; . Интегрируя, найдем:

.

Итак, общий интеграл данного уравнения . v

Линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь важный класс уравнений вида

. (8.1)

Если , то данное уравнение называется однородным. В противном случае, данное уравнение называется неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид , где –общее решение соответствующего однородного уравнения: , а –некоторое частное решение исходного уравнения.

Будем рассматривать наиболее часто встречающиеся в практике случаи, когда коэффициенты являются постоянными числами, а правая часть имеет простой (специальный) вид.

К таким уравнениям приводят многие физические задачи, решение которых, например, основано на втором законе механики , где – масса системы, – ускорение, – действующие силы.

Если, например, на некоторую систему действуют силы (сила, пропорциональная скорости движения) и (сила, восстанавливающая отклонение от положения равновесия), при этом внешнее возмущение описывается функцией , то, учитывая, что , а , получаем

или ,

а это, с точностью до обозначений, совпадает с общим видом линейных уравнений второго порядка (8.1).

Решение уравнения (8.1) ищем в виде . Для нахождения составляем характеристическое уравнение ,находим его корни и и в зависимости от их значений определяем . Правило нахождения укажем в таблице 1.

Таблица 1

Характеристическое уравнение ,	Общее решение однородного уравнения
1. , – действительные и различные
2. , – действительные и равные
3. , – комплексно - сопряженные

При нахождении будем исходить из того, что правая часть уравнения имеет специальный вид: ; ; ; , где и –заданные многочлены в степени .

Например, — многочлен нулевой степени, — многочлен первой степени, — многочлен второй степени и так далее. Соответствующие значения для укажем в таблице 2.

Таблица 2

	, если число не является корнем характеристического уравнения, и , если число является корнем характеристического уравнения
,	, если число не является корнем характеристического уравнения, и , если число является корнем характеристического уравнения
,	, если среди корней характеристического уравнения нет числа ; , если является однократным корнем характеристического уравнения; , если является двукратным корнем характеристического уравнения
,	, если среди корней характеристического уравнения нет числа 0; ,если число является однократным корнем характеристического уравнения; , если число является двукратным корнем характеристического уравнения

В выражениях для содержится функция , которая представляет собой многочлен степени с неизвестными коэффициентами: . Задача состоит в том, чтобы найти эту функцию, т.е. определить неизвестные коэффициенты . Для этого нужно вычислить , , подставить значения , , в исходное уравнение. Из сравнения левой и правой частей найти неизвестные коэффициенты.

Замечание. Если правая часть и — частное решение уравнения с правой частью , —частное решение уравнения с правой частью ,то частное решение для уравнения с правой частью будет .

Пример. Найти общее решение уравнения , если , , , .

Решение. При заданных значениях уравнение примет вид

.

Обозначим искомое решение через . Тогда , где - общее решение уравнения . Составим характеристическое уравнение , . Следовательно, .

Найдем . Так как правая часть уравнения равна ,то это случай 4 таблицы 4 и частное решение было бы ,если бы числа не было среди корней характеристического уравнения. Но так как число встречается среди корней характеристического уравнения один раз (), то . Найдем , , подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тождество

; ,

откуда .

Таким образом, и общее решение уравнения будет . v

Если в начальный момент времени известны и , то можно найти частное решение уравнения, удовлетворяющее этим условиям, т.е. решить так называемую задачу Коши.

Пример. Найти частное решение уравнения ,удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида , при , , , .

Найдем сначала общее решение данного уравнения .

Для этого решим соответствующее однородное уравнение:

.

Следовательно .

Так как числа нет среди корней характеристического уравнения, то (случай 3, таблица 2) частное решение подбираем в таком же виде, как и правая часть , , . Подставляем эти значения в уравнение .

Следовательно, . Значит, – общее решение данного уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем:

. Так как и , то получаем

Подставляя эти значения в общее решение, найдем частное решение

,

удовлетворяющее заданным начальным условиям. v

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида , при , , , .

Решаем уравнение . Составляем характеристическое уравнение .

Следовательно, – общее решение уравнения без правой части. По виду правой части находим число . Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому ;

;

.

Подставим эти значения в данное уравнение

или . Сравнивая слагаемые, содержащие и , получим

Поэтому

, – общее решение данного уравнения. Найдем

Учитывая начальные условия, найдем: , , откуда . Подставляя эти значения в общее решение, получим

– частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Физический смысл полученного решения (и предыдущих) в том, что это есть отклонение платформы от положения равновесия в любой момент времени. В частности, при получим

. v

Дата добавления: 2014-12-17