Задачи для самостоятельного решения. 2. Доказать, что если - собственный вектор некоторой матрицы, то и вектор , где - любое, не равное нулю число

1. Доказать следствие 4.1.

2. Доказать, что если - собственный вектор некоторой матрицы, то и вектор , где - любое, не равное нулю число, также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению, что и -

3. Доказать, что система векторов, состоящая из собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям некоторой матрицы А, является линейно независимой.

4. Известно следующее свойство определителя: для любых двух квадратных матриц С, В одного порядка -Пользуясь этим свойством, доказать, что собственные значения обратной матрицы равны обратным величинам для собственных значений матрицы А.

5. Доказать: нуль является собственным значением квадратной матрицы А, если и только если А – вырождена.

6. Пусть А – положительная квадратная матрица. Тогда любой ее неотрицателоьный собственный вектор является положительным и соответствует максимальному собственному значению матрицы А.

7. Пусть А – положительная квадратная матрица. Тогда любые два ее положительных собственных вектора и линейно зависимы, т.е. для некоторого положительного числа .

8. Для данной матрицы А найти все ее собственные значения и собственные векторы, им соответствующие.

а) б) в) г) ; д)

Дата добавления: 2014-11-29