Застосування визначених інтегралів

Інтеграли (робота змінної сили на відрізку ), (маса лінійного стержня з неоднорідною густиною на відрізку ) і (довжина шляху, який пройшла матеріальна точка, що рухалась прямолінійно із змінною швидкістю впродовж часу ) виражають різні аспекти фізичного змісту визначеного інтеграла.

Площа фігури, обмеженої знизу і зверху двома неперервними кривими і (), а зліва і справа – відповідно прямими , , обчислюється за формулою:

. (3.3.1)

Для однорідної (з постійною густиною маси) криволінійної трапеції ‑ фігури, обмеженої неперервною кривою , віссю та двома прямими і , координати центра маси:

, , (3.3.2)

де – площа криволінійної трапеції.

При обертанні цієї криволінійної трапеції навколо вісі отримаємо тіло, об'єм якого

. (3.3.3)

Приклад 3.3.1. За допомогою інтегрального числення для обмеженої лініями плоскої фігури : а) обчислити площу, б) знайти координати центра ваги, якщо густина маси , в) обчислити об’єм тіла, що утворюється при обертанні фігури навколо вісі .

Розв’язання.

Криволінійна трапеція обмежена зверху – параболою , знизу ‑ віссю та проектується на відрізок осі .

Рис. 3.3.1 ‑ Криволінійна трапеція

а) Площа згідно (3.3.1):

(кв. од.),

б) Координати центра мас за формулами (3.3.2): ,

в) Об’єм тіла обертання згідно (3.3.3): (куб. од.)

Зауважимо, що приклад 3.3.1 відповідає завданню 3.3 контрольної роботи.

Література: [1, с. 256 ‑ 272], [2, с. 339 ‑ 365], [3, с. 577 – 581], [11].

Дата добавления: 2014-12-17