КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
КРАТНІ, КРИВОЛІНІЙНІ ТА ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ МОДУЛЬ 5 Основні види простих областей інтегрування на площині: · Область інтегрування є стандартною відносно вісі . Вона обмежена зліва і справа прямими і , а знизу і зверху – неперервними кривими і , кожна з яких перетинається вертикальною прямою (для будь-якого ), лише в одній точці. Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою: , (5.1.1) причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим. · Область інтегрування є стандартною відносно вісі . Вона обмежена знизу і зверху прямими і , а справа а зліва – відповідно неперервними кривими і , кожна із яких перетинається довільною горизонтальною прямою (для будь-якого ) лише в одній точці. Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою: , (5.1.2) причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим. Праві частини формул (5.1.1), (5.1.2) називаються двократними, або повторними інтегралами. Таким чином, подвійний інтеграл обчислюється за допомогою зведення його до повторного інтеграла. Якщо область не є стандартною, то як часто трапляється, її можна представити у вигляді об’єднання стандартних множин. Перетворення подвійного інтеграла в прямокутних декартових координатах до інтеграла в полярних координатах , , які пов’язані з прямокутними координатами співвідношеннями , , (5.1.3) здійснюється за формулою: . (5.1.4) Якщо область обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути і , і кривими і , то відповідні полярні координати змінюються в межах області , і тоді . (5.1.5) Приклад 5.1.1. Обчислити інтеграл , де ‑ чверть круга , що лежить в першій координатній чверті .
Розв’язання. У відповідності з формулами (5.1.4), (5.1.5): . Площа плоскої фігури виражається формулою . (5.1.6) Об’єм циліндричного тіла (обмеженого зверху неперервною поверхнею , знизу – площиною і з боків – циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі ), що вирізає на площині область , обчислюється за формулою: . (5.1.7) Якщо пластинка займає область площини і має змінну поверхневу густину , то маса пластинки виражається подвійним інтегралом . (5.1.8) Координати центра мас обчислюються за формулами: , , (5.1.9) де , . Якщо область інтегрування визначається нерівностями , , , де , , , – неперервні функції, то потрійний інтеграл від функції по області , обчислюється за формулою: . (5.1.10) Об’єм просторового тіла, що займає область , визначається за формулою: . (5.1.11) Якщо – деяка область простору, яку займає матеріальне тіло з густиною , то маса тіла визначається формулою: . (5.1.12)
Приклад 5.1.2. Для фігури , що обмежена лініями, вказаними в прикладі 3.3.1: а) записати подвійний інтеграл ( ‑ неперервна функція в ) у вигляді повторного інтеграла та змінити порядок інтегрування; б) знайти масу пластини , якщо густина маси ; в) обчислити об’єм циліндричного тіла , обмеженого зверху площиною , знизу – площиною і з боків – прямою циліндричною поверхнею, що вирізає на площині область ; г) знайти масу циліндричного тіла , якщо густина маси . Розв’язання. а) Криволінійна трапеція (див. рис. 3.3.1) обмежена зверху – параболою , знизу ‑ віссю та проектується на відрізок осі . Значить, є стандартною відносно вісі . З іншого боку, обмежена зліва – віткою параболи , справа – віткою параболи та проектується на відрізок осі . Таким чином, є стандартною відносно вісі . Отже, запишемо подвійний інтеграл у вигляді обох повторних за формулами (5.1.1), (5.1.2): . б) Знайдемо масу пластини за формулою (5.1.8) (де густина маси ): . Спочатку обчислимо за змінною “внутрішній” інтеграл, в якому вважається сталим:
. Тоді . в) Об’єм циліндричного тіла (обмеженого зверху площиною ) згідно (5.1.7): . “Внутрішній” інтеграл . Значить, (куб. од.) г) Знайдемо масу циліндричного тіла за формулою (5.1.12): .
Зауважимо, що приклад 5.1.2 відповідає завданню 5.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 470 ‑ 492], [2, с. 581 ‑ 616], [3, с. 494 – 499], [13].
Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 2026; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |