Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения

(10)

и частное решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

у = 1 и у'= -1 при х = 0. (11)

Решение.

Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением с
р = -2, q = -3 и правой частью f(x) = х²-4 с а₀= -4, а₁ = 0, а₂ = 1; m = 2.

Найдем общее решение уравнения (10). Общее решение уравнения (10) имеет вид

(12)

где w - общее решение уравнения

(13)

v — частное решение уравнения (10).

Ищем решение (13) уравнения и составляем характеристическое уравнение

.

Корнями этого характеристического уравнения являются

Так как вещественны, и различны, то общее решение уравнения (13) имеет вид

. (14)

Найдем частное решение v уравнения (10).

1. Определяем вид функции v:

(15)

2. Величины b₀, b₁, b₂ — неизвестные постоянные, которые находятся из условия, что (15) является решением уравнения (10). Найдем эти постоянные.

а) Дифференцируя (15), вычисляем :

(16)

б) Подставляем выражения (15) и (16) в уравнение (10). Получаем тождество

(17)

справедливое для всех вещественных х.

в) Задавая в тождестве (17) три частных значения переменной х (столько, чему равно количество неизвестных постоянных): х = 0; -1; 1, получаем систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных b₀, b₁, b₂. Имеем следующее:

при х = 0: 2b₂-2b₁-3b₀ = -4; (18)

при x=-1: 3b₂+b₁-3b₀ = -3; (19)

при х = 1: -5b₂-5b₁-3b₀ = -3. (20)

Уравнения (18) - (20) образуют искомую систему линейных уравнений.

г) Решая эту систему методом Гаусса, получаем

(21)

Подставляя значения (21) в выражение (15), получаем искомое частное решение:

. (22)

Из формул (12), (14), (22) находим общее решение уравнения (10):

(23)

Найдем теперь частное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям (11).

1. Общее решение уравнения (10) дается формулой (23).

2. Дифференцируя функцию (23), находим следующее выражение для производной:

(24)

3. В выражения (23) и (24) подставляем х = 0, у = 1, у' = -1. Получаем систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных с₁ и с₂:

.

4. Решая эту систему, находим

(25)

5. Подставляя значения (25) в формулу (23), получаем искомое частное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям (11):

. (26)

Итак, ответ дается формулами (23) и (26).

Дата добавления: 2014-12-17