Сумма линейных операторов и ее свойства

Опр. 15.1. Путь f ₁ і f ₂ линейные операторы V, тогда их суммой называют отображение

V V (2)

Св-во 16.2. Сумма линейных операторов является линейным оператором. Док-во. Используем теорему о критерии линейности: V P (в первой и последней равенствах использовали определение 16.1, а во второй - теорему 8.3). ■

Св-во15.3. Когда линейные операторы f₁ и f₂ имеют в базисе (1) матрицы A₁ и A₂, тогда линейный оператор f₁+ f₂ мои в этом базисе матрицу A₁+ A₂. Док-во. Пусть произвольный вектор , векторы имеют в базисе (1) соответствующие столбцы координат. Х, . Тогда ; . По определению 15.1 . Отсюда следует, что . Из замечания о единственности матрицы линейного оператора следует, что – матрица линейного оператора в базисе (1). ■

Св-во.15.4. Множество End(V) с операцией сложения лин. операторов явл. аддитивной(+/-), коммутативной группой. Доказательство: 1) Докажем ассоциативность операции сложения (1).: V Î End(V) Так как – произвольный, доказали равенство отображений: . 2) Докажем коммутативность сложения операторов: V End(V) , значыцца, .

3) Очевидно, что нулевое отображение V V принадлежит End(V) и является нейтральным относительно сложения элементов в End(V): V Î End(V) . Отсюда следует . 4) Докажем, что для произвольного f Î End(V) отображение (– f): V V является линейным оператором, и что . V P

Значит, End(V). V, , из чего следует, что .■

Св-во. 15.5. Когда dim(V)=n, тогда End(V) и Mat(n n;P) являются изоморфными аддитивными группами.

Доказательство. В свойства 11.4 доказали, что когда фиксированный базис (1) в V, то сущнствует биективное отображение F: Mat(n´n;P) End(V). Из свойства 15.3 следует, что " A ₁, A ₂Î Mat(n´n;P) F (A ₁+ A ₂)= F (A ₁)+ F (A ₂), таким образом, F - изоморфизм аддитивных групп End(V) і Mat(n´n;P).■

Дата добавления: 2014-11-29