Характеристики формы распределения

Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода медиана), показатели вариации, асимметрии и эксцесса.

В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают . Если это равенство нарушается - распределение асимметрично (рис. 8.1).

Простейшим показателем асимметрии является разность , которая в случае правосторонней асимметрии положительна, а при левосторонней - отрицательна.

Рис. 8.1. Асимметричное распределение

Для сравнения асимметрии нескольких рядов вычисляется относительный показатель

. (21)

В качестве обобщающих характеристик вариации используются центральные моменты распределения R-гo порядка , соответствующие степени, в которую возводятся отклонения отдельных значений признака от средней арифметической и, равные:

для не сгруппированных данных

, (22)

для сгруппированных данных

. (23)

Момент первого порядка согласно свойству средней арифметической равен нулю: .

Момент второго порядка является дисперсией .

Моменты третьего и четвертого порядков используют­ся для построения показателей, оценивающих особенности формы эмпирических распределений.

С помощью момента третьего порядка измеряют степень ско­шенности или асимметричности распределения

, (24)

где - коэффициент асимметрии.

В симметричных распределениях , так как все центральные моменты нечетного порядка для симметричных распределений равны нулю. Неравенство нулю центрального момента третьего порядка указывает на асимметричность распределения. При этом если > 0, то асимметрия правосторонняя и относительно максимальной ординаты вытянута правая ветвь; если < 0, то асимметрия левосторонняя (на графике это соответствует вытянутости левой ветви).

Для характеристики островершинности или плосковершинности распределения вычисляют отношение момента четвертого порядка к среднеквадратическому отклонению в четвертой степени . Для нормального распределения , поэтому эксцесс находят по формуле

. (25)

Для нормального распределения Е обращается в нуль. Для островершинных распределений Е > 0, для плосковершинных Е < 0 (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Эксцесс распределения

Кроме показателей, рассмотренных выше, обобщающей харак­теристикой вариации в однородной совокупности служит определен­ный порядок в изменении частот распределения в соответствии с из­менениями величины изучаемого признака, называемый закономерностью распределения.

Характер (тип) закономерности распределения может быть вы­явлен путем построения вариационного ряда на основании большого объема наблюдений, а также такого выбора числа групп и величины интегралов, при котором наиболее отчетливо могла бы проявиться закономерность.

Анализ вариационных рядов предполагает выявление характера распределения (как результата действия механизма вариации), установление функции распределения, проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.

Эмпирическое распределение, полученное на основе данных наблюдения, графически изображается в виде эмпирической кривой на распределения с помощью полигона (рис. 6.1).

На практике встречаются различные типы распределений, среди которых можно выделить симметричные и асимметричные, одновершинные и многовершинные.

Установить тип распределения означает выразить механизм формирования закономерности в аналитической форме. Многим явлениям и их признакам свойственны характерные формы распределения, которые аппроксимируются соответствующими кривыми. При всем многообразии форм распределения наибольшее распростране­ние в качестве теоретических получили нормальное распределение, распределение Пуассона, биноминальное распределение и др.

Особое место в изучении вариации принадлежит нормальному закону, благодаря его математическим свойствам. Для нормального закона выполняется правило трех сигм, по которому вариация инди­видуальных значений признака находится в пределах от вели­чины средней. При этом в границах находится около 70% всех единиц совокупности, а в пределах - 95%.

Оценка соответствия эмпирического и теоретического распре­делений производится с помощью критериев согласия, среди которых широко известны критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова.

Контрольные вопросы

(выберите правильный ответ)

1. Какой показатель следует вычислять для сравнения вариации двух совокупностей?

а) средний квадрат отклонений;

б) размах вариации;

в) среднее линейное отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) среднее квадратическое отклонение.

2. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение?

а) средняя арифметическая из абсолютных отклонений от­дельных значений варьирующего признака от средней:

б) разность между наибольшим и наименьшим значениями признака в совокупности;

в) корень второй степени из среднего квадрата значений признака от их средней величины;

г) средний квадрат отклонений значений признака от средней арифметической;

д) отношение абсолютного показателя вариации к средней.

3. По данным текущей статистики семейных бюджетов среднедушевые расходы составили в месяц, руб.: на приобретение продовольственных товаров - 600 при среднем квадратическом отклонении 120; на приобретение промышленных товаров - 300 при средне квадратическом отклонении - 66. Вариация расходов на продовольственные товары по сравнению с вариацией расходов на промышленные товары:

а) выше;

б) ниже;

в) одинакова;

г) сделать вывод не представляется возможным.

4. Определите, что является основой для расчета показателей вариации, измеряющих среднее отклонение значений признака от центра распределения:

а) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней;

б) сумма абсолютных значений этих отклонений;

в) сумма квадратов этих отклонений.

5. Средняя урожайность пшеницы по области - 25 ц/га, дисперсия - 49. Средняя урожайность ржи - 20 ц/га, дисперсия - 25. Сравните между собой вариации урожайности пшеницы и ржи:

а) вариация урожайности пшеницы выше;

б) вариация урожайности ржи выше;

в) вариация урожайности одинаковая;

г) сравнить вариации урожайности пшеницы и ржи не представляется возможным.

6. Что характеризует эмпирическое корреляционное отношение?

а) вариацию значений прочих признаков, исключая вариа­цию признака, положенного в основание группировки;

б) форму связи;

в) направление связи;

г) тесноту связи.

7 Что характеризует эмпирический коэффициент детермина­ции?

а) форму связи;

б) оценивает различия между отдельными значениями при­знака в совокупности;

в) направление связи;

г) насколько вариация изучаемого признака обусловлена фактором группировки.

8. По данным обследования домашних хозяйств средний размер покупки товара "А" в группе семей со средними доходами составил 28 единиц, а модальный — 34 единицы. Укажите форму распределе­ния обследованной совокупности семей по размеру покупки товара "А":

а) симметричное;

б) с правосторонней асимметрией;

в) с левосторонней асимметрией;

г) островершинное;

д) плосковершинное.

9. Дайте характеристику формы распределения, если коэффи­циент асимметрии = 0,387, эксцесс Е = 3,0:

а) имеет правостороннюю асимметрию;

б) плосковершинное;

в) имеет левостороннюю асимметрию, островершинное;

г) симметричное;

д) вывод сделать нельзя.

10. Что следует понимать под закономерностью распределения?

а) определенный порядок в значениях признака в вариаци­онном ряду:

б) определенный порядок в значениях частот ряда распределения;

в) определенный порядок в изменении частот (частостей). соответствии с изменениями значений признака в вариационном ряду;

г) определенный порядок в изменении частостей в вариационном ряду.

Дата добавления: 2014-11-29