Розв’язання. Складаємо рівняння рівноваги відповідно до умов рівноваги і розв’яжемо їх

Розрахунки

Складаємо рівняння рівноваги відповідно до умов рівноваги і розв’яжемо їх.

Покажемо ще раз усі сили, що діють на конструкцію, щоб не пропустити ні однієї при складанні рівнянь рівноваги: .

(1) ∑ М_{і D} = 0 │ X_А │ Q ∙ 6 – Р₁ ∙ 4 – М – X_А ∙ 10 = 0;

X_А ∙ 10 = Q ∙ 6 – Р₁ ∙ 4 – М = 6 ∙ 6 – 2 ∙ 4 – 18 = 10; X _А = 1кН;

(2) ∑ М_іС = 0 │ Y_А │ – Q ∙ 4 + Р₁ ∙ 6 + Р₂ ∙ 10 – М – Y_А ∙ 10 = 0;

Y_А ∙ 10 = – Q ∙ 4 + Р₁ ∙ 6 + Р₂ ∙ 10 – М = – 6 ∙ 4 + 2 ∙ 6 + 2 ∙ 10 – 18 = – 10; Y _А = – 1кН. знак «–» указує на те, що дійсний напрямок реакції протилежний указаному на схемі.

(3) ∑ М_іА = 0 │ R_В │ – Q ∙ 4 + Р₁ ∙ 6 – М + R_В∙ 10 ∙ √2/2 = 0;

R_В∙ 10 ∙ √2/2 = Q ∙ 4 – Р₁ ∙ 6 + М = 64 – 26 + 18 = 30;

R_В = 30/5√2 = 6/√2 = 3√2 = 4,23; R _В = 3√2 = 4,23 кН.

Перевірочні рівняння

∑ F _{i x} = 0 │ R_В, X_А │ – Q + Р₁ + X_А + R_В∙ cos45^o = – 6 + 2 + 1 + 3√2 ∙ √2/2 = 0;

∑ F _iу = 0 │ R_В, Y_А │ – Р₂ + Y_А + R_В∙ sin45^o = – 2 + (– 1) + 3√2 ∙ √2/2 = 0 – реакції знайдено вірно.

Відповідь: X _А = 1 кН;Y _А = – 1 кН; R _В = 3√2 = 4,23 кН.

Приклад 5

Визначити реакції опори А рами, якщо на неї діють сила , момент пари сил і розподілені навантаження q і q₁.

Дані: Р = 10 кН;

М = 13 кН∙м;

q = 2 кН/м;

q₁ = 0,5 кН/м;

sinα = 0,6; cosα = 0,8.

Визначити реакції опори А.

Рис. 22. До прикладу 5

Для подальшого полегшення розрахунків спочатку проведемо підготовчі дії:

1. нерівномірно-розподілене навантаження q замінимо однієї зосередженою силою Q = ql/2 = 2 ∙ 12/2 = 12 кН, яку прикладемо на відстані l/3 = 12/3 = 4 м від т. Cділянці l прикладаннянавантаження q_max,зберігаючи при цьому напрямок навантаження.

2. рівномірно-розподілене навантаження q₁ замінімо однієї зосередженою силою Q₁ = q₁ l₁ = 0,5 ∙ 6 = 3 кН, яку прикладемо посередині ділянки l₁ = 6 м.

3. розкладемо силу на горизонтальну і вертикальну складові:

,

визначимо величини складових сил:

Р₁ = Р∙ cos α = 10 ∙ 0,8 = 8 кН;

Р₂ = Р∙ sin α = 10 ∙ 0,6 = 6 кН.

Для перевірки правильних напрямків складових сил доречно застосувати аксіому паралелограма сил.

Рис. 23. Розрахункова схема

Використовуємо план розв’язання задач статики:

1. тіло, що перебуває в рівновазі під дією активних (заданих) сил і реакцій опор, – церама АВ.

2. активні сили, що діють на балку, – цесили , , і момент пари сил .

3. В’язі, що накладені на балку, – це жорстке защемлення у т. А.

4. відкидаємо в’язі та замінюємо їх дію відповідними реакціями: з боку жорсткого защемлення на конструкціюдіє сила і реактивний момент пари сил . Напрямок сили невідомий, тому її розкладають по двох взаємно перпендикулярних напрямках – , . Тобто невідомими є 3 величини: , , , які треба знайти у задачі.

Показуємо це на розрахунковій схемі, як і у попередніх прикладах розрахункову схему не змінюємо ні при розв’язуванні задачі, ні після нього, тому що рівняння рівноваги сил складають саме для цієї схеми і тільки їй воно відповідає.

5. на раму діє плоска довільна система сил , під дією якої рама знаходиться у рівновазі (стані спокою); для плоскої довільної системи сил необхідно й достатньо скласти 3 рівняння рівноваги.

6. аналізуємо статичний розв’язок задачі: кількість невідомих сил – реакцій в’язів – це, , , , тобто їх 3, – дорівнює кількості необхідних та достатніх рівнянь рівноваги, тому задача вважається статично визначеною.

7. складаємо умови та рівняння рівноваги. намагаємось скласти рівняння таким чином, щоб у кожне рівняння увійшло тільки одне невідоме, яке з цього рівняння й визначатиме:

– сума моментів сил відносно т. А – ∑ М_іА = 0, з якого визначимо ; (1)

– сума проекцій сил на вісь х – ∑ F _{i x} = 0, з якого визначимо ;(2)

– сума проекцій сил на вісь у –∑ F _{i у}= 0, з якого визначимо . (3)

Саме ці рівняння складемо тому, що при визначенні суми моментів сил відносно т. А (рівняння 1), лінії дії двох невідомих і перетинаються у т. А, тому їх моменти відносно т. А дорівнюють нулю, і в це рівняння увійде тільки одне невідоме . рівняння суми проекцій сил на вісь х (рівняння 2)складаємо тому, що невідомі і не увійдуть у це рівняння, оскільки перпендикулярне осі х, а момент пари сил у будь-яке рівняння проекцій сил не входить, тому знайдемо . Аналогічно до рівняння суми проекцій сил на вісь у (рівняння 3), з якого визначимо .

8. Складемо перевірочне рівняння ∑ М_іВ = 0, вяке ввійдуть усі 3 невідомих , , , а також усунемо дві сили – і , які не увійдуть до цього рівняння, тобто полегшимо обрахунок.

Розрахунки

Покажемо ще раз усі сили, що діють на конструкцію, щоб не пропустити ні однієї при складанні рівнянь рівноваги: .

Складаємо рівняння рівноваги відповідно до умов рівноваги і розв’яжемо їх.

(1) ∑ М_іА = 0 │ m_A │ – Q₁ ∙ 3 + Q ∙ 8 – Р₁ ∙ 6 – Р₂ ∙ 2 + М + m_A = 0;

m_A = Q₁ ∙ 3 – Q ∙ 8 + Р₁ ∙ 6 + Р₂ ∙ 2 – М = 3 ∙ 3 – 12 ∙ 8 + 8 ∙ 6 + 6 ∙ 2 – 13 = 40; m _A = 40 кН∙м.

(2) ∑ F _{i x} = 0 │ X_A │ – Q₁ – Р₁ + X_A = 0;

X_A = Q ₁ + Р₁ = 8 + 3 = 11 кН, X _A = 11 кН.

(3) ∑ F _{i у} = 0 │ Y_A │ – Р₂ + Q + Y_A = 0;

Y_A = – Q + Р₂ = – 12 + 6 = – 6 кН, Y _A = – 6кН. знак «–» указує на те, що дійсний напрямок реакції протилежний указаному на схемі.

Перевірочне рівняння

∑ М_іВ = 0 │ X_A, Y_A, m_A │ Q₁ ∙ 3 + Q ∙ 6 + М – X_A ∙ 6 – Y_A ∙ 2 + m_A = 3 ∙ 3 + 12 ∙ 6 + 13 – – 11 ∙ 6 – (– 6) ∙ 2 + (– 40) = 0 – реакції знайдено вірно.

Відповідь: X _A = 11 кН, Y _A = – 6кН, m _A = 40 кН∙м.

Додаток.

Роздавальний матеріал.

Дата добавления: 2014-11-29