Теория игр

Теория игр (GT – Game Theory) – это раздел теории управления, в котором исследуются задачи о существовании и нахождении оптимального управления в условиях конфликта (в условиях столкновения сторон, каждая из которых стремится воздействовать на развитие конфликта в своих интересах). Теория игр была разработана выходцем из Венгрии, гениальным математиком Джоном фон Нейманом (1903-1957). Содержание теории игр – это установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности, доказательство существования решений, удовлетворяющих этим принципам, указание алгоритмов нахождения решений.

Все модели в GT принято называть играми. Математическое описание игры сводится к перечислению всех действующих в ней игроков, указанию для каждого игрока всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои стратегии. В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу.

Игры можно классифицировать по различным признакам:

• по числу «игроков» (сторон) N ≥ 2;

• по числу ходов в игре (многошаговые и бесконечные);

• математической структуре модели игры (рекурсивные и дифференциальные)

• по числу стратегий игры (конечные и бесконечные, если хотя бы у одного «игрока» число стратегий бесконечно)

• по взаимоотношениям игроков:

кооперативные (коалиционные), в которых принимающие решение игроки объединены в фиксированные коалиции. Члены одной коалиции могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения. Игроки могут вступать в коалицию и договариваться о совместных действиях.

бескоалиционные, в которых каждая коалиция или множество игроков, действующих совместно, состоит лишь из одного игрока. Теория бескоалиционных игр – это способ моделирования и анализа ситуаций, в которых оптимальные решения каждого игрока зависят от его представлений об игре оппонентов. Важнейшим моментом теории является то, что игроки не должны придерживаться произвольных представлений об игре своих оппонентов: каждый игрок должен пытаться предсказать игру своих оппонентов, используя свои знания правил игры и исходя из предположений, что его оппоненты сами рациональны, а потому пытаются сами также предсказать игру своих оппонентов и максимизировать свои собственные выигрыши;

• по степени информативности «игроков» в игре (детерминированные, когда условия, в которых принимаются решения, известны полностью; стохастические, когда известно множество возможных вариантов условий и их вероятностное распределение и неопределенные, когда известно множество возможных вариантов, но без какой-либо информации об их вероятностях);

• по выигрышу игры (антагонистические и игры с ненулевой суммой);

• по характеру получения информации (статические игры или игры в нормальной форме, в которой игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры и ходят один раз, одновременно и независимо; динамические игры или игры в позиционной форме (информация поступает игрокам в процессе развития игры);

• по полноте имеющейся у игроков информации:

статические игры с полной информацией предполагают, что у игроков имеется вся «необходимая» информация друг о друге, включая выигрыши игроков;

статические игры с неполной информацией - если игрок знает свою функцию выигрыша, но может не знать функций выигрыша остальных игроков, то тогда участники должны иметь какие-то представления относительно предпочтений других участников, должны иметь представления об их представлениях о предпочтениях других и т.д.;

динамические игры с полной информацией и неполной информацией.

Изучение игр можно проводить с различных точек зрения. Мы будем стремиться:

• к выработке принципов оптимальности, т.е. того критерия, по которому поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным);

• выяснению реализуемости этих принципов, т.е. установлению существования оптимальных в выработанном смысле ситуаций, и отысканию этих реализаций.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является пред­положение о полной («идеальной») разумности против­ника (противников). В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник «глуп», и воспользоваться этой глу­постью в свою пользу. Схемы теории игр не включают элементов риска, неизбежно сопровождающего разум­ные решения в реальных конфликтах. В теории игр выявляется наиболее осторожное, «перестраховочное» поведение участников конфликта. Сознавая эти огра­ничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомен­даций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать аппарат теории игр как «совеща­тельный» при выборе решения (подобно тому, как молодой, энергичный полководец может прислушаться к мнению умудренного опытом, осторожного старца).

Одной из плодотворных форм воплощения представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, при котором складывается такая равновесная ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, ситуации равновесия являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш (разумеется в той мере, в какой это от него зависит).

Если в игре ситуации равновесия (в пределах отпущенных возможностей) нет, то, оставаясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой задачей.

При возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расширении первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий, заведомо нашлись равновесные. Если такие обобщенные стратегии существуют, то обычно они представляются некоторыми комбинациями исходных стратегий (при этом, естественно, предполагается, что игра повторяется многократно). Для того чтобы отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые – смешанными стратегиями.

Сказанное мы проиллюстрируем на примере одного из самых простых и наиболее изученных классов игр, на так называемых матричных играх. Исследование матричных игр интересно еще и потому, что к ним могут быть приближенно сведены многие игры более общего вида.

Дата добавления: 2014-11-29