Расхождение (дивергенция) вектора

Пусть имеем поле вектора (например, электрическое поле заряда). Вычислим поток Ф этого вектора через какую-либо замкнутую поверхность s

где А_n – нормальная составляющая вектора к элементу ds поверхности s (кружок на знаке интеграла указывает, что поверхность замкнута). Пользуясь векторным изображением поверхности, полагаем , где – единичный вектор внешней нормали к элементу ds замкнутой поверхности s. Тогда

Будем теперь беспредельно уменьшать поверхность стягивания её на некоторую точку М внутри поверхности. При этом объём V, заключённый внутри поверхности, также будет беспредельно уменьшаться. Расхождение вектора в данной точке М обозначается символом div и определяется выражением

(11)

Таким образом, расхождение выражает собою объёмную плотность потока вектора в окрестности точки М и является мерой силы источников поля вектора в рассматриваемой точке.

Эта интерпретация становится особенно понятной, если вспомнить геометрическое представление поля вектора векторными линиями. Если числа векторных линий, входящих в замкнутую поверхность и исходящих из нее, одинаковы, т. е. внутри поверхности не возникает ни одной новой векторной линии и не исчезает ни одной, вошедших внутрь, то поток вектора через замкнутую поверхность s будет равен нулю. Векторные поля, у которых , называются свободными от источников или соленоидальными, так как в таком поле векторные линии не могут нигде не начинаться, ни кончаться и, следовательно, образуют систему замкнутых кривых, нигде не пересекающихся друг с другом. Если в каждой точке пространства , то в каждой точке имеем как бы источник (положительный или отрицательный) возникновения векторных линий и служит мерой обильности этих источников.

Если поверхность регулярна (а в остальном произвольна) и если векторная функция и её первые производные являются непрерывными функциями координат точек как в области V, так и на ограничивающей её поверхности s, то интересующий нас предел (11) может быть вычислен. При указанных условиях значение в окрестности точки М, на которую стягивается поверхность s, может быть выражена аналитически через значения и его производных в М (разложением в ряд Тейлора около точки М).

В прямоугольной системе координат это вычисление даёт

(12)

Следует иметь в виду важную формулу Остроградского, имеющую место при указанных ограничениях и его производных

(13)

дающую преобразование поверхностного интеграла в объёмный.

Дата добавления: 2014-11-28