Алгоритм побудови математичної моделі

Классификация математических моделей

ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ТВАРИННИЦТВІ

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

2.1. Загальні поняття та визначення

Математичне моделювання є головним засобом дослідження складних процесів і систем, на якому базуються сучасні підходи до проектування, оптимізації та управління в різних галузях науки і техніки.

Математична модель, як і ряд других понять математического моделирования, не має суворого формального визначення:

● під математичної моделлю розуміється клас абстрактних і символьних математичних об'єктів - таких, як числа і вектора і відносини між ними;

● математичной моделлю об'єкта називают совокупність абстрактних основоположних математичних понять і відносин, виражених за допомогою системи математичних символів і позначень і відображають деякі властивості досліджуваного об'єкта;

● під математичної моделлю розуміється будь-який оператор А, що дозволяє за відповідними значенням вхідних параметрів Х встановити вихідні значення параметрів Y об'єкта моделювання.

Таким чином, математична модель являє собою концентрований вираз загальних взаємозв’язків і закономірностей технологічного процесу в математичній формі. Такий запис має вигляд системи алгебраїчних рівнянь і нерівностей економічно містка (ёмка) і являє собою формалізовану систему для застосування різноманітних розрахункових процедур – алгоритмів.

Отже, математичне моделювання – це побудова математичної моделі (або вибір наявної «моделі - заготовки»), її дослідження з метою отримання нової інформації про об'єкт та використання для опису властивостей і передбачення поведінки об'екта.

Математична модель – це сукупність наших знань про досліджуваний об’єкт, сформульованих мовою математики. Але математична модель, як і будь-яка інша модель, завжди є тільки копією об'єкта і описує його наближено. Математичні моделі розрізняються між собою за рядом прикмет: масштаб об’єкту, математичній формі надання, тимчасовому аспекту та ін.

На відміну від фізичної, математична модель не зберігає геометричної схожості з об’єктом вона абстрактна.

Основними етапами математичного моделювання є:

- отримання змісту задачі у вигляді текстового завдання – концептуальна

форма запису задачі;

- формалізація задачі у вигляді математичної моделі;

- розв’язання задачі методами лінійного, нелінійного, динамічного,

дискретного, стохастичного програмування;

- перевірка та корегування моделі.

Формальна класифікація моделей ґрунтується на математичних засобів, що використовуються для розв'язання поставлений задач:

1. Складність об'єкта моделювання.

2. Оператор моделювання (підмодель).

3. Вхідні і вихідні параметри моделі.

4. Цілі моделювання.

5. Метод реалізації моделі.

1. Складність об'єкта

Всі об'єкти моделювання можна розділити на дві групи: прості об'єкти та об'єкти - системи. При моделюванні простих об'єктів не розглядається внутрішня будова об'єкта, не виділяються складові його елементи або підпроцеси. Для складних систем характерна наявність великої кількості взаємопов'язаних і взаємодіючих елементів. Їх поведінка багатоваріантна. Моделі об'єктів - систем, враховують властивості і поведінку окремих елементів, а також взаємозв'язки між ними, називаються структурними моделями.

2. Оператор моделі

Оператор моделі визначається сукупністю рівнянь. У разі якщо оператор забезпечує лінійну залежність вихідних факторів від вхідних, то математична модель називається лінійною. В іншому випадку модель називається нелінійною.

1. Параметри моделі

Залежно від виду використовуваних множин параметрів моделі діляться на якісні та кількісні, дискретні і безперервні, змішані.

2. Цілі моделювання

Залежно від мети моделювання виділяють дескриптивні, оптимізаційні, управлінські моделі.

Метою дескриптивних моделей є встановлення законів зміни параметрів моделі. Оптимізаційні моделі призначені для визначення оптимальних (найкращих) з точки зору деякого критерію параметрів об'єкта і технологічних режимів. Керуючі моделі застосовуються для прийняття ефективних управлінських рішень.

3. Метод реалізації моделі

Залежно від методу реалізації виділяють аналітичні та алгоритмічні математичні моделі. Метод є аналітичним, якщо він дозволяє отримати вихідні фактори у вигляді аналітичних виразів. Аналітичні методи бувають алгебраїчними і наближеними. У алгоритмічних моделях математичні співвідношення для об'єкта дослідження замінюються алгоритмом. Алгоритмічні моделі бувають чисельними і імітаційними.

При моделюванні технічних систем і процесів класифікація математичних моделей набуває додаткові ознаки:

● по етапах життєвого циклу створення об'єкта виділяють моделі аналізу, моделі проектування, моделі впровадження та ін.;

● за рівнем формалізації моделі можна виділити концептуальну модель (для користувача і аналітика), формалізоване, або алгоритмічне, опис і програму-імітатор;

● за методами побудови розрізняють моделі, створені за допомогою аналітичних та статистичних методів.

В основі аналітичних моделей процесів закладени фундаментальні закони тепло - і масопереносу, виражені у вигляді функціональних співвідношень (алгебраїчних, інтегрально - диференціальних, звичайно - різницевих і т. д.). Тому аналітичні моделі описують і розкривають сутність технологічних процесів, що протікають в досліджуваному об'єкті і визначають його властивості і поведінку. Методи дослідження аналітичних моделей: аналітичні (отримують загальне рішення в явному вигляді і підставляють в нього значення граничних і початкових умов) і чисельні (загальні рішення в явному вигляді замінюються наближеними). Як приклад аналітичних моделей можна назвати диференціальні рівняння.

Статистичні моделі розглядають досліджуваний об'єкт як «чорний ящик» і не розкривають сутність процесів, що протікають в ньому, - вони просто відображають одну з можливих залежностей вихідних змінних від вхідних, тобто носять приватний характер на відміну від аналітичних моделей, які мають більш загальний характер. Прикладом емпіричних моделей є кореляційні, регресійні моделі.

По відношенню до параметру часу математичні моделі технологічних процесів поділяють на детерміновані та стохастичні.

В детермінованих моделях процес або дія об’єкту описується аналітичними виразами, скоріш всього системами диференціальних або алгебраїчних рівнянь.

В стохастичних моделях процес або дія об’єкта описується стохастичними рівнями фізичний сенс мають не окремі реалізації процесу, а сукупність реалізацій і їх параметри (математичне очікування, дисперсія, кореляційні залежності та ін.). Ефективність стохастичних моделей у значній мірі визначається якісним виконанням усіх етапів експерименту (висунення гіпотези, планування, проведення, обробка результатів та ін.).

У галузі тваринництва математичні методи використовують за двома основними напрямками:- оптимізації технологічних процесів та управління. Вся сукупність розв'язання екстремальних задач називається математичним або оптимальним програмуванням.

Термін «програмування» означає обчислення певних характеристик досліджуваного об'єкту або процесу з метою оптимізації їх станом (змінами) з використанням відповідної математичної моделі. У математичному програмуванні виділяють такі основни розділи:лінійне програмування (ЛП), якщо математична модель (ММ) подається лише лінійними функціональними залежностями та нелінійне програмування, якщо при розбудові математичної моделі використовуються нелінійні функціональні залежності.

Технології комплексного моделювання являють собою послідовність наступних дій:

1) визначення мети моделювання;

2) розробка концептуальної моделі;

3) формалізація моделі;

4) програмна реалізація моделі;

5) планування модельних експериментів;

6) реалізація плану експерименту;

7) аналіз та інтерпретація результатів моделювання.

Відповідно, загальна схема моделювання має наступний вигляд:

1) проблема;

2) постановка завдання;

3) опис вихідних даних;

4) формалізація задачі, вибір часової та просторової шкал моделі;

5) вибір методу побудови моделі;

6) планування експерименту;

7) отримання і обробка експериментальних даних;

8) ідентифікація невідомих характеристик моделі;

9) вибір методу розв'язання задачі;

10) обчислювальний експеримент;

11) аналіз та інтерпретація результатів моделювання;

12) прийняття рішень про використання результатів;

13) практичне використання моделі.

Для прикладного моделювання технологічних процесів представляється доцільним розглянути окремо алгоритми побудови аналітичної та емпіричної моделей.

Дата добавления: 2014-11-29