Планування та проведення факторного експерименту

Моделі технологічних процесів можуть бути детермінованими і стохастичними.

У детермінованих моделях процес або дію об'єкту описується аналітичними виразами, найчастіше системами диференціальних або алгебраїчних рівнянь.

У стохастичних моделях процес або дію об'єкту описується стохастичними рівняннями і фізичний зміст мають не окремі реалізації процесу, а сукупність реалізацій та їх параметри (математичне очікування, дисперсія, кореляційні залежності і т.д.). Ефективність стохастичних моделей в значній мірі визначається якісним виконанням всіх етапів експерименту (висування гіпотези, планування, проведення, обробка результатів і т.д.).

За даними експерименту визначається залежність математичного сподівання змінної (y відгуку) від незалежних змінних (факторів) x₁, x₂, …, x_m, які, як передбачається, впливають на об'єкт дослідження (2.2):

y = f (x₁, x₂, …, x_m, Q₁, Q₂, …, Q_m) (2.2)

де Q₁, Q₂, …,Q_m – параметри моделі.

Вираз (2.2) називають функцією відгуку.

У технологічних дослідженнях розрізняють:

1) фактори, що не допускають цілеспрямованої зміни їх в ході дослідження (склад, структура матеріалу тощо);

2) керовані фактори, за допомогою яких реалізується задані умови роботи об'єкта (режими обробки, характеристики устаткування і оснащення тощо);

3) неконтрольовані вхідні або незалежні фактори, що характеризують діючі на об'єкт обурення (неконтрольовані зміни хімічного складу кормив, температури примищень, зміна властивостей устаткування і оснащення в часі та ін.).

У функції відгуку зазвичай враховуються лише фактори перших двох груп. Дія неконтрольованих чинників призводить до дрейфу характеристик об'єкта (значення відгуку).

За кількістю змінних експерименти поділяють на одно-і багатофакторні: при однофакторних змінюють і реєструють один фактор, при багатофакторних - кілька факторів (незалежних змінних).

Об'єкти досліджень в експериментах поділяють на статистичні та детерміновані, керовані і некеровані.

У статистичних об'єктах відгук y знаходиться в стохастичною зв'язку з факторами x₁, x₂,…,x_m.

Для детермінованих об'єктів характерні функціональні зв'язки між невипадковими величинами.

Керованість об'єкта визначається можливістю відтворення на ньому результатів досвіду.

Експеримент, в якому рівні факторів в кожному досвіді задаються дослідником, називають активним, а в іншому випадку - пасивним. Залежно від типів змінних, що використовуються в моделі (2.2) і функції відгуку, експеримент може бути якісним і кількісним.

За місцем проведення - експеримент може бути лабораторним і промисловим.

У залежності від режиму реалізації розрізняють автоматизований і не автоматизований експеримент.

Експеримент в якому реалізуються усі можливі поєднання рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Для двох рівнів кожного фактора маємо повний факторний експеримент типу 2^к, де к – кількість факторів, а N = 2^к - число необхідних дослідів (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Повний факторний план для двох факторів (2²)

Номер досліда	x1	x2	y
	+1	-1	y1
	-1	-1	y2
	+1	+1	y3
	-1	+1	y4

Плануючи експеримент, на 1-му етапі прагнуть отримати модель - поліном першого ступеня (лінійна модель), хоча немає гарантії, що при вибраних рівнях варіювання процес описується лінійною моделлю. Коефіцієнти полінома (лінійної моделі):

j= 0, 1, …, m, (2.3)

де b_j - коефіцієнт моделі з номером j;

x_ji – значення j-ого фактора в i-м досліді плану;

y_i - значення функції відгуку в i - м досліді плану;

Таблиця 2.2

Повний факторний план для трьох факторів (2²)

Номер досліду	x1	x2	x3	y	Номер досліду	x1	x2	x3	y
	+1 +1 +1 +1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 +1 -1	y1 y2 y3 y4		-1 -1 -1 -1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 +1 -1	y5 y6 y7 y8

N- кількість дослідів в плані.

Методи планування експерименту.

До проведення експерименту встановлюють інтервали між значеннями факторів, насамперед незалежних.

Однофакторний експеримент буває двох типів: послідовний рандомізований.

При послідовному експерименті рівень фактора змінюється стрибкоподібно (по кроках). Після кожного кроку оцінюється результат і приймається рішення про хід подальшої роботи. Послідовний експеримент доцільний, у разі якщо:

1) известно, что он не воспроизводим (при испытании образца на растяжение нагрузка меняется ступенчато, в образце после первого же приложения нагрузки происходят необратимые изменения); (відомо, що він не відтворюється (при випробуванні зразка на розтяг навантаження змінюється східчасто, у зразку після першого ж програми навантаження проісходят незворотні зміни);)

2) особливості об'єкта можна виявити тільки при отриманні даних в регулярної послідовності (аналіз стабільності технологічного процесу охолодження молока).

У рандомізованому експерименті рівень чинника міняється випадковим чином з метою зведення ефекту деякого неврахованого невипадкового чинника до випадкової помилки.

Найчастіше при описі технологічних процесів і в першу чергу, коли природа фізичних явищ, їх супроводжуючих, не ясна використовують поліноміальні моделі:

- поліном першого ступеня (2.4):

у = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ +… + b_mx_m (2.4)

- поліном другого ступеня (2.5):

у = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂ x₁x₂ + b₁₁x²₁₁ + b₂₂x²₂ + … (2.5)

Відповідно цьому, плани експериментів, мета якіх - відшукування моделі процеса у вигляді полінома першого або другого ступеня, називають планами другого і першого порядків.

На першому етапі планування вибираються умови експерименту:

1) визначається область експериментування - межі зміни незалежних чинників;

2) встановлюється другий основний рівень досліджуваних чинників;

3) встановлюються інтервали варіювання;

4) визначається точність фіксації чинників.

Основним рівнем називають центр досліджуваної області зміни цього чинника. Зазвичай (2.6):

(2.6)

де Х_ін, Х_ів - відповідно значення основного, нижнього і верхнього рівнів чинника Х_i.

Інтервалом варіювання чинників I_i є число (своє для кожного чинника), збільшення якого до основного рівня дає верхній, а віднімання - нижній рівень чинника (2.7):

(2.7)

Для спрощення запису умов експерименту і обробки експериментальних даних масштаби по осях вибираються так, щоб верхній рівень відповідав + 1, а основний - нулю.

Це можна зробити за допомогою перетворень(2.8):

, (2.8)

де Х_i - натуральне значення чинника;

Х_io - натуральне значення основного рівня;

Ii - інтервал варіювання;

- кодоване значення чинника.

Наприклад, в експерименті швидкість руху транспортера змінюється від 40 м/хв. до 160 м/хв. Тоді:

Х_iН = 40 м/хв.; Х_iВ = 160 м/хв.; Х_io = (40 + 160) / 2 = 100 м/хв.;

Ii = 60 м/мін; = (40 - 100) / 60 = - 1; =0; = +1.

Точність фіксації рівнів чинника вважається високою, якщо погрішність виміру більше 1%, середньою, - не більше 5%. У технологічних дослідженнях погрішність виміру може іноді досягати 20%.

Застосування кореляційно - регресійного аналізу (КРА) правомірно і ефективно, якщо:

а) залежна змінна y - випадкова величина з нормальним законом

розподілу.

б) дисперсія y не залежить від абсолютних значень y;

в) значення Х₁, Х₂.,Х_m змінюються з помилками, зневажливо малими в порівнянні з y;

г) переменные Х₁, Х₂.,Х_m - лінійно незалежні;

д) процес зміни y є стаціонарним і випадковим;

е) експериментальні дані отримані з ряду незалежних випробувань і утворюють випадкову вибірку з даних генеральної сукупності.

Умови “а – г” перевіряються для активного і пасивного експериментів, умови "д" і "е" - для пасивного експерименту.

Для обчислення коефіцієнтів рівняння регресії використовують метод найменших квадрантів(МНК). Коефіцієнти регресії, знайдені за допомогою МНК, забезпечують мінімум суми квадрантів відхилень досвідчених даних y _i від значень вичислених по рівнянню регресії , тобто мінімум функцій (2.9):

, (2.9)

де (2.10)

Для лінійної однофакторної залежности (2.11):

^(2.11)

Проведено n дослідів, в результаті яких маємо систему (2.12):

(2.12)

Система (2.12) є перевизначеною (n >2) і, можливо, несумісною. Знайти невідомі коефіцієнти b₀ і b₁ - поліном першого ступеня можна з умови (2.13):

(2.13)

Якщо мінімум Ф існує, тоді (2.14):

(2.14)

Виконання цієї процедури дає можливість скласти систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих(2.15).

Остаточно (2.16): (2.15)

(2.16).

2.8. Корреляционно - регрессионный анализ (КРА)

Для отримання математичних моделей статистичних об'єктів дослідження, дуже характерних для технологічних досліджень, частенько ефективне застосування кореляційно - регресивного аналізу (КРА). Методи КРА застосовні тільки для взаємозв'язаних чинників. Основне призначення кореляційно - регресійних моделей - визначати ступінь залежності результат показника від факторів, його визначальних, і на цієї основі регулювати процес позитивно впливаючи фактори - стимулювати, негативно - нейтралізувати.

На першому етапі КРА оцінюють міру взаємозв'язку значень функції відгуку y с однією або декількома незалежними змінними Х₁, Х₂., Хm. У першому випадку використовується коефіцієнт парний (r_yx), в другому - коефіцієнт множинної (R_{y, x1, x2, xm}) кореляції:

, (2.17)

де - средние арифметические значения y_n,x_i в рассматриваемой выборке;

n – число измерений (объем выборки);

S_x,S_y - середне квадратичне відхилення x_i и y_і.

При цьому:

; якщо n > 30, то (2.18)

Позначивши залежну змінну цифрою 1, а незалежну (и) - цифрами 2,3,4.m, отримаємо позначення коефіцієнтів парної кореляції r₁₂, r₁₃,.,r_1m; коефіцієнтів множинної кореляції між y і Х₁, Х₂.,Х_m. R_{1, 2,3,4,.,m}. Тоді (2.19):

, (2.19)

де D - визначник, що складається з усіх коефіцієнтів парної кореляції (2.20)

, (2.20)

де D₁₁ - визначник, що отримується викреслюванням з D першого ліворуч стовпця і верхнього рядка.

У разі трьох змінних(2.21):

(2.21)

Значення r_yx і R_y, _{x1, x2, xm} знаходяться в межах від - 1 до +1. Якщо вони істотно відрізняються від нуля, то між досліджуваними чинниками існує лінійна кореляційна залежність. Інакше ця залежність відсутня або є істотно нелінійною. Якщо ryx або R_{y, x1, x2, xm} дорівнюють +1 або - 1, то між досліджуваними чинниками існує функціональний зв'язок. Знаки r_yx або R_{y, x1, x2, xm} свідчать про характер взаємозв'язку між чинниками – прямим (знак "+") або зворотним (знак "-").

Якщо кореляційні зв'язки між чинниками існують, то за допомогою регресивного аналізу вибирають математичну модель, що якнайкраще описує вказані взаємозв'язки. Рівняння, по якому можуть бути знайдені числові значення вибіркових середніх функцій відгуку (y) при незалежних змінних (x₁, x₂.,x_m), називається рівнянням регресії.

Дата добавления: 2014-11-29