Метод нелінійного програмування

Якщо цільова виробнича функція g (x₁,x₂,…x_n) або нерівності (рівності) f(x₁,x₂,…x_n) ≤ 0 (i=1,2,…m) обмежуючих умов, є криволінійні (нелінійні) функції від n змінних (факторів)х_1, х₂, …х_n., то маємо задачу нелінійного програмування. Прикладом нелінійного програмування може бути квадратичне програмування, для якого цільова функція є квадратична функція, а обмежуючі нерівності (рівності) є лінійні функції. Градієнтні методи належать до наближених методів розв’язування задач нелінійного програмування і дають лише певне наближення до екстремуму, причому за збільшення обсягу обчислень можна досягти результату з наперед заданою точністю, але в цьому разі є можливість знаходити лише локальні екстремуми цільової функції. Такі методи можуть бути застосовані лише до тих типів задач нелінійного програмування, де цільова функція і обмеження є диференційовними хоча б один раз. Зрозуміло, що градієнтні методи дають змогу знаходити точки глобального екстремуму тільки для задач опуклого програмування, де локальний і глобальний екстремуми збігаються.

В основі градієнтних методів лежить основна властивість градієнта диференційовної функції - визначати напрям найшвидшого зростання цієї функції. Ідея методу полягає у переході від однієї точки до іншої в напрямку градієнта з деяким наперед заданим кроком.

Розглянемо метод Франка - Вульфа, процедура якого передбачає визначення оптимального плану задачі шляхом перебору розв’язків, які є допустимими планами задачі.

Нехай необхідно відшукати

за лінійних обмежень:

;

Допустимо, що Х ₀ - початкова точка, що належить множині допустимих планів даної задачі. В деякому околі цієї точки нелінійну цільову функцію замінюють лінійною і потім розв’язують задачу лінійного програмування. Нехай розв’язок лінійної задачі дав значення цільової функції F ₀, тоді з точки Х ₀ в напрямку F ₀ необхідно рухатись доти, поки не припиниться зростання цільової функції. Тобто у зазначеному напрямку вибирають наступну точку Х ₁, цільова функція знову замінюється на лінійну, і знову розв’язується задача лінійного програмування.

Розглянемо детальніше перехід віди k -ої ітерації методу до (k + 1)-ої ітерації.

Припустимо, що відома точка X_k, яка належить області допустимих розв’язків. У даній точці обчислюємо градієнт цільової функції:

.

Значення градієнта функції задає в даній точці напрям найшвидшого її зростання.

Замінюємо цільову функцію задачі лінійною функцією виду:

.

Потім розв’язуємо задачу лінійного програмування з обмеженнями початкової задачі і новою цільовою функцією:

за умов:

;

.

Нехай розв’язком такої задачі є точка .

З початкової точки в напрямку рухаємося з деяким довільним кроком , визначаючи координати нової точки у такий спосіб:

Зауважимо, що значення параметра доцільно вибирати таким, що дає найбільше значення цільової функції початкової задачі .

Для точки Хk +1 повторюємо розглянутий процес, для чого знову розраховуємо значення градієнта і т. д.

У такий спосіб знаходимо послідовність точок , які поступово наближаються до оптимального плану початкової задачі. Ітераційний процес повторюється до того моменту, поки значення градієнта цільової функції не стане рівним нулю або виконуватиметься умова , де - досить мале число, яке означає потрібну точність обчислень.

Приклад. Підприємство виробляє два види продукції (А і В) і використовує на виробництво три види ресурсів: І, ІІ, ІІІ. Витрати ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції подано в табл. 2.8.

Таблиця 2.8

Дата добавления: 2014-11-29