Формула Ньютона – Лейбніца

Якщо функція (16) є первісною для f(x), а функція F(x) будь - яка первісна для f(x), то справджується рівність

де С – довільна стала. Замість х підставимо в цю рівність а. Тоді

, звідси

Отже,

Поклавши в цій рівності x=b, дістанемо формулу Ньютона - Лейбніца

(18)

(тут замість t взято x).

Формула (18) виражає зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралами, вона дає також змогу досить просто обчислювати визначений інтеграл від неперервної функції. Справді, якщо для f(x) відома яка - небудь первісна F(x), то визначений інтеграл дорівнює різниці двох значень первісної: при х=а і при х=b. Зокрема для тих функцій, невизначені інтеграли від яких беруться в скінченному вигляді, визначені і інтеграли можна можна обчислювати за допомогою формули (18).

Формулу Ньютона - Лейбніца записують ще так:

.

ПРИКЛАД

Обчислити визначені інтеграли:

а) б)

Р о з в ’ я з а н н я. Підінтегральні функції в кожному визначеному є функції, неперервні на відповідних відрізках. Тому для їх обчислення можна застосувати формулу Ньютона - Лейбніца.

а) Однією з первісних функцій для функції є . Отже,

.

б) Знайдемо будь - яку первісну для функції xlnx. Інакше кажучи, знайдемо

невизначений інтеграл (з точністю до довільної сталої)

.

Для знаходження цього інтеграла скористаємося формулою інтегрування частинами:

, , , ;

.

Тоді .

Дата добавления: 2014-11-29