Основна теорема інтегрального числення

Т е о р е м а. Якщо функція f(x) є неперервною на відрізку [a; b], то функція є диференційованою в кожній точці цього відрізка і .

Д о в е д е н н я. Нехай х - довільна точка відрізка [a; b], а h наскільки малий приріст х, що x+h [a; b]. Тоді

Оскільки f(x) неперервна на відрізку [a; b], отже, і на відрізку [x; x+h], то до останнього інтеграла можна застосувати формулу (17). Маємо

,

Знайдемо

тобто

Теорему доведено.

Цю теорему читають ще й так:

Якщо f(x)є неперервною на відрізку [a; b], то похідна від визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює підінтегральній функції, в якій змінну інтегрування замінено верхньою межею

Н а с л і д о к. Для будь-якої неперервної на відрізку [a; b] функції f(x) існує первісна, і однією з первісних функцій є визначений інтеграл (16) із змінною верхньою межею.

Справді, оскільки f(x) неперервна на відрізку [a; b], то вона є інтегрованою на [a; b], а отже, і на будь-якому відрізку [a; x], a≤x≤b. Тоді згідно з лемою, функція Ф(х) неперервна на відрізку [a; b], а з доведеної теореми випливає, що Ф(х) має похідну на відрізку [a; b].

Дата добавления: 2014-11-29