Об’єм тіла обертання

Лекція № 29

Приклади.

1) Обчислити кривизну параболи у = х² в точці (1; 1).

Розв’язання. Застосуємо формулу (6). Для цього знайдемо f '(х) = 2х,

f ''(х) = 2, f '(1) = 2, f ''(1) = 2.

Тоді

К = =

2) Знайти кривизну кардіоїди ρ = a(1 – cоs φ) в довільній точці.

К = .

Тема: Об’єм тіла обертання. Площа поверхні обертання. (С. р. Знаходже ння статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)

План лекції:

t

§ 1. Об’єм тіла обертання.

§ 2. Площа поверхні обертання.

§ 3. (С. р. Знаходження статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)

Нехай функція - неперервна і додатна на відрізку .

Об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі криволінійної

трапеції, обмеженої кривою та відрізками прямих (рис.3.6), дорівнює

. (29.1)

Якщо задані дві неперервні криві такі, що , при , то об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі плоскої фігури, обмеженої цими лініями та відрізками прямих (рис.3.7), обчислюється за формулою

. (29.2)

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.6

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої неперервною кривою , прямою та відрізками прямих , (рис.3.8), дорівнює

. (29.3)

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , об’єми утворених тіл обертання навколо осі або осі визначаються відповідно формулами:

, (29.4)

. (29.5)

Рис. 3.9

Нехай крива задана в полярній системі координат рівнянням , де - неперервна функція при . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо полярної осі плоскої фігури, обмеженої кривою та двома полярними радіусами і , які відповідають кутам та (рис.3.9), обчислюється за формулою

. (29.6)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти об’єм кулі.

Дата добавления: 2014-11-29