Лившиц Б. С. и др. 1 страница

ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерством связи СССР

в качестве учебника для студентов электротехнических институтов связи

МОСКВА «СВЯЗЬ» 1979

ББК 32.88

Л55

УДК 621.391

РЕЦЕНЗЕНТЫ:Ю. Н. КОРНЫШЕВ, О. С. ШИЛОВ, М. А. ШНЕПС

Л55 Теория телетрафика/Лившиц Б. С., Пшенич-ников А. П., Харкевич А. Д. Учебник для вузов.—

2-е изд., перераб. и доп. — М.: Связь, 1979.—224 с., ил.

Рассматривается теория обслуживания телефонно-телеграф-ных сообщений. Описываются системы связи как системы массового обслуживания, неблокирующие коммутационные схемы (с потеря­ми и ожиданием) и блокирующие (двух- и многозвеньевые). При­ведены задачи с решениями и указаниями к решениям, а также вопросы для самопроверки.

Учебник предназначен для студентов вузов связи.

© Издательство «Связь», 1979 г,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ.. 5

Предисловие. 7

Основные обозначения. 8

ГЛАВА ПЕРВАЯ.. 10

Предмет и задачи теории телетрафика. 10

1.1. Теория телетрафика – одна из ветвей теории массового обслуживания. 10

1.2. Математические модели систем распределения информации. 10

1.3. Основные задачи теории телетрафика. 11

1.4. Общие сведения о методах решения задач теории телетрафика. 12

1.5. Краткий исторический обзор развития теории телетрафика. 13

ГЛАВА ВТОРАЯ.. 16

Потоки вызовов. 16

2.1. Основные понятия. 16

2.2. Принципы классификации потоков вызовов. 17

2.3. Характеристики потоков вызовов. 18

2.4. Простейший поток вызовов. 19

2.5. Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки. 23

2.6. Потоки с простым последействием.. 24

2.7. Симметричный и примитивный потоки. 24

2.8. Поток с повторными вызовами. 25

2.9. Поток с ограниченным последействием. Поток Пальма. 26

2.10. Просеивание потоков. Потоки Эрланга. 26

2.11. Длительность обслуживания. 27

2.12. Поток освобождений. 28

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.. 30

Нагрузка. Характеристики качества обслуживания. 30

3.1. Поступающая, обслуженная, потерянная нагрузки. 30

3.2. Концентрация нагрузки. 32

3.3. Основные параметры и расчет интенсивности нагрузки. 33

3.4. Характеристики качества обслуживания потоков вызовов. 36

3.5. Пропускная способность коммутационных систем.. 38

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.. 41

Полнодоступный пучок. Система с потерями. 41

4.1. Обслуживание вызовов симметричного потока с простым последействием.. 41

4.2. Обслуживание вызовов простейшего потока. 46

4.3. Обслуживание вызовов примитивного потока. 53

ГЛАВА ПЯТАЯ.. 61

Полнодоступный пучок. Система с ожиданием.. 61

5.1. Обслуживание вызовов простейшего потока при показательном законе распределения длительности занятия 61

5.2. Обслуживание вызовов простейшего потока при постоянной длительности занятия. 67

5.3. Область применения систем с ожиданием.. 71

ГЛАВА ШЕСТАЯ.. 74

Полнодоступный пучок. Система с повторными вызовами. 74

6.1. Постановка задачи. 74

6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки. 75

6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами. 76

6.4. Основные характеристики качества работы системы с повторными вызовами. 77

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.. 80

Метод статистического моделирования в задачах теории телетрафика. 80

7.1. Общие сведения. 80

7.2. Моделирование случайных величин. 80

7.3. Моделирование коммутационных систем на универсальных вычислительных машинах. 83

7.4. Точность и достоверность результатов моделирования. 85

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.. 87

Неполнодоступное включение. Системы с потерями. 87

8.1. Общие сведения. 87

8.2. Некоторые характеристики неполнодоступных схем.. 88

8.3. Выбор структуры ступенчатой неполнодоступной схемы.. 90

8.4. Выбор структуры равномерной неполнодоступной схемы.. 92

8.5. Построение цилиндров. 93

8.6. Идеально симметричная неполнодоступная схема. 94

8.7. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы.. 96

8.8. Априорные методы определения потерь в неполнодоступных схемах. 98

8.9. Инженерный расчет неполнодоступных схем.. 101

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.. 104

Звеньевые коммутационные системы.. 104

9.1. Общие сведения. 104

9.2. Комбинаторный метод. Полнодоступное включение выходов. 105

9.3. Потери в двухзвеньевых схемах при отсутствии сжатия и расширения. 107

9.4. Потери в двухзвеньевых схемах при наличии сжатия или расширения. 108

9.5. Двухзвеньевые неполнодоступные схемы.. 110

9.6. Метод эффективной доступности. 112

9.7. Структура многозвеньевых коммутационных схем.. 115

9.8. Способы межзвеньевых соединений и методы искания в многозвеньевых схемах. 116

9.9. Расчет многозвеньевых коммутационных схем в режиме группового искания. Метод КЛИГС.. 117

9.10. Метод вероятностных графов. 119

9.11. Оптимизация многозвеньевых коммутационных схем.. 122

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.. 125

Распределение нагрузки и потерь на сетях связи. 125

10.1. Качество обслуживания на автоматически коммутируемых сетях связи. 125

10.2. Расчет нагрузок на входах и выходах ступеней искания коммутационных узлов. 127

10.3. Расчет нагрузок, поступающих на регистры и маркеры.. 129

10.4. Способы распределения нагрузки. 129

10.5. Колебания нагрузки. Расчетная интенсивность нагрузки. 134

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.. 138

Управляемые элементы сети связи и методы определения ее характеристик. 138

11.1. Общие сведения. 138

11.2. Обходные направления и использование метода эквивалентных замен при расчете числа линий в обходных пучках 139

11.3. Динамическое управление. Характер задач, возникающих при управлении потоками. 141

11.4. Кроссовая коммутация как управление структурой сети. 142

11.5. Метод укрупнения состояний пучков при определении характеристик управляющей информации. 143

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ.. 147

Измерения параметров нагрузки и потерь. 147

12.1. Цели и задачи измерений. 147

12.2. Принципы измерений параметров нагрузки и потерь. 147

12.3. Обработка результатов измерений. 148

12.4. Определение объема измерений. 152

Предисловие

Книга «Теория телетрафика» предназначена в качестве учебника по одноименному курсу для студентов электротехнических институтов связи специальности 0702 «Автоматическая электросвязь». Этот курс включен в учебный план, утвержденный в 1974 г., вместо курса «Теория телефонных и телеграфных сообщений», который читался на шестом семестре. Первый учебник «Теория телефонных и телеграфных сообщений» был издан в 1971 г. Так как" по новому учебному плану на шестом семестре в курсе «Автоматические системы коммутации» изучаются принципы построения коммутационных систем, то из курса «Теория телетрафика» данный раздел исключен. Уточнено также распределение материала между курсами «Теория телетрафика», «Автоматические системы коммутации» и «Теория сетей связи» в части, относящейся к конкретному проектированию станций и сетей связи. Учтены замечания по содержанию первого издания учебника, а также опыт преподавания курса в вузах связи.

При отборе материала, в соответствии с утвержденной в 1974г. программой, ставилась задача изложить наиболее важные проблемы теории телетрафика на современном научном уровне, базируясь на теории вероятностей и других разделах математики в объеме вузовской программы. При этом значительное внимание уделялось изложению физической сущности изучаемых процессов, развитию навыков использования полученных знаний при решении практических задач, созданию достаточно прочной базы для дальнейшей самостоятельной работы в этой области. Большинство глав снабжено задачами с решениями, контрольными вопросами, большим иллюстративным материалом.

Авторы выражают искреннюю признательность Я. В. Фидлину за большой вклад в создание первого издания учебника, который сыграл важную роль в формировании данной книги, Ю. Н. Корнышеву, О. С. Шилову, М. А. Шнепсу за большую и полезную работу, выполненную ими при рецензировании рукописи книги, Г. Б. Метельскому, Н. П. Мамонтовой, Э. И. Мелик-Гайказовой за многочисленные советы, рекомендации и помощь при подготовке рукописи учебника. Параграф 11.5 написан М. Ф. Шимко. Глава 12 написана А. П. Пшеничниковым. Им же переработаны гл. 3 и 10 первого издания учебника и совместно с другими авторами составлена гл. 1. Остальные главы написаны Б. С. Лившицем и А. Д. Харкевичем. Все замечания и пожелания по книге следует направлять в издательство «Связь» по адресу: 101000, Москва, Чистопрудный бульвар, д. 2.

Авторы

Основные обозначения

B_u,d(y) – третья формула Эрланга

С – число точек коммутации

– среднее число вызовов, поступающих от одного источника нагрузки в единицу времени

– число сочетаний из п по m

D(X) – дисперсия случайной величины X

D_u(y) – вторая формула Эрланга

d – доступность

Е – эрланговское распределение

Е_u(у) –первая формула Эрланга

F(х) – функция распределения вероятностей случайной величины X

f(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины X

f – связность в многозвеньевой коммутационной системе

f_ij – коэффициент тяготения от ATC _i к ATC _j

g – число нагрузочных групп в неполнодоступной схеме

H_i – вероятность занятия i фиксированных линий в пучке

h – постоянная длительность занятия

М(Х) – математическое ожидание случайной величины X

N_j – численность j -й группы элементов в генеральной совокупности

п_ij – нормированный коэффициент тяготения

р – вероятность

p_t, p _в, p _н – соответственно потери по времени, вызовам, нагрузке

q – число выходов из одного коммутатора в направлении искания

q_t – выравнивающий коэффициент

R – среднее значение интенсивности избыточной нагрузки

s(t) – состояние коммутационной системы в момент времени t

Т – средняя длительность разговора

– средняя длительность занятия

V – коэффициент вариации

u – число линий (приборов) в пучке

W_i – вероятность занятия i любых линий пучка

w – вероятность занятия дуги графа

X – случайная величина

х – реализация случайной величины

Y _ij – вектор нагрузки от АТС _i к ATC _j

y(t ₁ ,t ₂ ), –соответственно поступающая, обслуженная и потерянная, нагрузки за про межу

y _о (t ₁, t ₂ ) ток времени [ t ₁ ,t ₂)

y _п(t ₁ ,t ₂ )

y, y _о, y _п–соответственно интенсивности поступающей, обслуженной и потерянной нагрузок

Z – коэффициент скученности нагрузки

z_i – промежуток времени между (i –1) и i -м вызывающими моментами

D (дельта) – предельная ошибка выборки

h(эта) –средняя интенсивность обслуженной нагрузки одной линиейпучка

c (каппа) – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию пучка

l (ламбда) – параметр стационарного потока вызовов

m (мю) – интенсивность стационарного потока вызовов

n (ню) – параметр стационарного потока освобождений

X (кси) – случайная величина

x (кси) – реализация случайной величины

p _k(t, t+ t ) – вероятность поступления k и более вызовов за промежуток

(пи) времени [ t, t+ t)

s(X) (сигма)–среднеквадратическое отклонение случайной величины X

t (тау) – интервал времени

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Предмет и задачи теории телетрафика

1.1. Теория телетрафика – одна из ветвей теории массового обслуживания

В повседневной жизни приходится постоянно сталкиваться с обслуживанием, т. е. удовлетворением некоторых потребностей, и очень часто с очередями, когда обслуживание является массовым. Примерами процессов массового обслуживания могут служить продажа билетов в железнодорожных, театральных и других кассах, обслуживание бригадой рабочих группы станков, осуществление телефонной связи и т. д. Естественно, что во всех случаях большое значение имеет степень удовлетворения потребности в обслуживании, или качество обслуживания. Так, при осуществлении телефонной связи важно знать, как долго придется ожидать соединения с требуемым абонентом после заказа междугородного разговора при ручном способе установления соединений или сколько в среднем попыток необходимо сделать для установления соединения при автоматическом способе.

Количественная сторона процессов массового обслуживания является предметом раздела прикладной математики, которую советский математик А. Я. Хинчин (1894–1959 гг.) назвал теорией массового обслуживания. Родилась теория массового обслуживания в первой четверти XX века вследствие возникновения потребностей разработки математических методов для оценки качества функционирования телефонных систем. Основоположником теории телетрафика, из которой «выросла» теория массового обслуживания, является датский ученый А. К. Эрланг (1878–1929 гг.)–сотрудник Копенгагенской телефонной компании.

В теории массового обслуживания все рассматриваемые объекты объединяются под общим названием «системы массового обслуживания». Одним из классов систем массового обслуживания являются системы распределения информации (системы телетрафика). Системой распределения информации могут быть совокупность коммутационных приборов, часть или весь коммутационный узел либо сеть связи, которые обслуживают по определенному алгоритму телефонные, телеграфные и другие сообщения.

В настоящее время методы теории массового обслуживания используются для решения самого широкого круга задач – от бытового обслуживания до космических исследований, однако определяющую роль в развитии теории массового обслуживания продолжает играть одна из ее ветвей – теория телетрафика.

Предметом теории телетрафика является количественная, сторона процессов обслуживания потоков сообщений в системах распределения информации.

1.2. Математические модели систем распределения информации

Как и любая другая математическая теория, теория телетрафика оперирует не с самими системами распределения информации, а с их математическими моделями. Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.

В гл. 2 и 3 учебника подробно изучаются свойства и параметры случайных потоков вызовов и нагрузки. Колеблемость интенсивности нагрузки, распределение ее во времени и по направлениям рассмотрены в гл. 10, а измерение параметров нагрузки на действующих системах распределения информации – в гл. 12.

Схемы систем распределения информации подробно изучаются в курсе «Автоматические системы коммутации». Простейшей схемой является однозвеньевая полнодоступная схема. Процессы ее взаимодействия с различными потоками сообщений при обслуживании с потерями и с ожиданием подробно рассматриваются в гл. 4, 5 и 6. Методы расчета пропускной способности однозвеньевых неполнодоступных схем описаны в гл. 8, а полнодоступных и не-полнодоступных многозвеньевых схем – в гл. 9.

Дисциплина обслуживания характеризует взаимодействие потока вызовов с системой распределения информации. В теории телетрафика дисциплина обслуживания в основном описывается следующими характеристиками:

способами обслуживания вызовов (с потерями, с ожиданием, комбинированное обслуживание);

порядком обслуживания вызовов (в порядке очередности, в случайном порядке, обслуживание пакетами и др.);

режимами искания выходов схемы (свободное, групповое, индивидуальное);

законами распределения длительности обслуживания вызовов (показательный закон, постоянная или произвольная длительность обслуживания);

наличием преимуществ (приоритетов) в обслуживании некоторых категорий вызовов;

наличием ограничений при обслуживании всех или некоторых категорий вызовов (по длительности ожидания, числу ожидающих вызовов, длительности обслуживания);

законами распределения вероятностей выхода из строя элементов схемы.

Некоторые из перечисленных характеристик могут быть связаны с потоком вызовов и (или) схемой, другие характеристики могут не зависеть ни от потока, ни от схемы. Например, закон распределения длительности обслуживания может быть связан с потоком вызовов, порядок обслуживания вызовов может зависеть и от потока вызовов и от схемы, а способ обслуживания вызовов, как правило, не зависит ни от потока, ни от схемы.

В научной литературе для компактной записи математических моделей часто пользуются обозначениями, предложенными Д. Кендаллом, и модифицированными – Г. П. Башариным. Математическую модель обозначают последовательностью символов. Первый символ обозначает функцию распределения промежутков между вызовами, второй – функцию распределения длительности обслуживания, третий и последующие символы – схему и дисциплину обслуживания. Для обозначения распределений введены следующие символы: М – показательное, Е – эрланговское, D – равномерной плотности, G – произвольное. Для многомерного случая над символами ставятся стрелки. Схема системы телетрафика обозначается символом S. Если схема представляет собой полнодоступный пучок линий, то вместо S пишется u, где u – число линий. Если вызовы обслуживаются с ожиданием, то число мест для ожидания обозначают символом r. Символ f с индексами вводится для обозначений приоритетов в обслуживании.

Приведем несколько примеров. Так, M/M/S обозначает схему S, на которую поступает поток с показательной функцией распределения промежутков между вызовами и показательной функцией распределения длительности обслуживания (простейший поток вызовов). Запись М/М/u<¥ обозначает полнодоступный пучок с конечным числом линий, который обслуживает с потерями простейший поток вызовов. Запись обозначает полнодоступный пучок из uлиний, который обслуживает с ожиданием k потоков с показательными функциями распределения промежутков между вызовами; каждый поток имеет произвольную функцию распределения длительности обслуживания; число мест для ожидания r < ¥; постановка вызовов в очередь осуществляется без приоритетов – f ⁰, выборка из очереди – также без приоритетов – f ₀.

Построение математической модели, адекватно отображающей реальную систему распределения информации, во многих случаях является нетривиальной задачей. От правильного выбора модели в конечном счете зависит успех решения всей задачи.

1.3. Основные задачи теории телетрафика

Основная цель теории телетрафика заключается в разработке методов оценки качества функционирования систем распределения информации. В соответствии с этим на первом месте в теории телетрафика стоят задачи анализа, т. е. отыскание зависимостей и значений величин, характеризующих качество обслуживания, от характеристик и параметров входящего потока вызовов, схемы и дисциплины обслуживания. Эти задачи в начальный период развития телефонной техники были более актуальными, чем задачи синтеза, и решались, как правило, с помощью теории вероятностей.

Поэтому наиболее значительные результаты на сегодняшний день получены при решении задач анализа.

Развитие координатной и особенно квазиэлектронной и электронной коммутационной техники поставило перед теорией телетрафика сложные вероятностно-комбинаторные задачи синтеза, в которых требуется определить структурные параметры коммутационных систем при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания.

Близкими к задачам анализа и синтеза являются задачи оптимизации. Эти задачи при проектировании систем распределения информации формулируются следующим образом: определить такие значения структурных параметров коммутационной системы (алгоритмы функционирования), для которых: 1) при заданных потоках, качестве и дисциплине обслуживания стоимость или объем оборудования системы распределения информации минимальны и 2) при заданных потоках, дисциплине обслуживания и стоимости качественные показатели функционирования системы распределения информации оптимальны.

При эксплуатации систем распределения информации задача оптимизации формулируется как задача управления потоками вызовов или структурой системы для достижения наилучших показателей качества функционирования. Из-за больших вычислительных трудностей задачи оптимизации систем распределения информации начали ставиться и решаться в последние два десятилетия после появления быстродействующих ЭВМ. Некоторые результаты решения задач этого класса для станций и узлов автоматической коммутации излагаются в курсе «Автоматические системы коммутации», а для сетей связи – в курсе «Теория сетей связи».

1.4. Общие сведения о методах решения задач теории телетрафика

Основным математическим аппаратом теории телетрафика являются теория вероятностей, математическая статистика и комбинаторика.

Значительные результаты теории телетрафика получены благодаря сформулированному А. К. Эрлангом понятию статистического равновесия, вероятностный процесс находится в состоянии статистического равновесия, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Понятие статистического равновесия не только стимулировало развитие теории телетрафика, но и способствовало практическому применению и дальнейшему развитию теории вероятностей.

Методы математической статистики применяются при оценке результатов наблюдений за параметрами потоков вызовов и показателями качества обслуживания в действующих системах распределения информации, а также при моделировании таких систем.

При анализе, синтезе и оптимизации структурно-сложных систем распределения информации кроме вероятностных методов используются комбинаторные и алгебраические методы, теория множеств, принципы системного подхода (системотехники). Основными методами решения задач в теории телетрафика являются аналитические, численные и метод статистического моделирования.

Аналитические методы позволяют решать задачи теории телетрафика в тех случаях, когда структура системы, характеристики потока и дисциплина обслуживания относительно просты. При этом рассматриваются все возможные состояния системы, определяемые положением каждой точки коммутации или другого элемента системы при наиболее подробном ее описании. Такие состояния называются микросостояниями системы. Каждый раз, когда поступает новый вызов, заканчивается какая-либо фаза работы управляющего устройства по установлению соединения или заканчивается соединение, система меняет свое микросостояние. Для каждого микросостояния записывается уравнение статистического равновесия. Решая систему таких уравнений, находят точное решение задачи в пределах принятой модели.

Для сложных систем число микросостояний так велико, что решить систему уравнений статистического равновесия не представляется возможным даже с помощью самых быстродействующих ЭВМ. Более перспективным является так называемый макроподход. В сложной системе с очень большим числом микросостояний имеется тот или иной признак, по которому микросостояния объединяются в классы-макросостояния. Путем усреднения определяются интенсивности переходов из одних макросостояний в другие. Для каждого макросостояния записывается уравнение статистического равновесия. В результате решения системы таких уравнений выводятся точные или приближенные формулы для вероятностей макросостояний. Чтобы представить трудности, связанные с использованием аналитических методов, достаточно указать, что число микросостояний неполнодоступного пучка из v линий оценивается как 2^u. Например, при u = 20 число состояний более 10⁶. Для решения задач такой размерности с помощью ЭВМ используются специальные алгоритмы, позволяющие находить приближенные решения итерационными или другими численными методами. Изложение этих методов дано в монографии М. А. Шнепса [57].

Наиболее универсальным методом, который пригоден для решения задач практически любой сложности, является метод статистического моделирования. Метод заключается в построении математической модели системы, реализация которой осуществляется в виде программы для ЭВМ. Моделирование позволяет получить численные результаты, характеризующие качество обслуживания при заданных параметрах потока, схемы и дисциплины обслуживания. Однако в силу специфики метода он менее удобен по сравнению с аналитическим и численным методами при определении скрытых закономерностей функционирования или зависимостей между отдельными характеристиками системы. Метод статистического моделирования как наиболее универсальный метод решения сложных задач подробно рассматривается в гл. 7.

Во многих случаях разумное сочетание аналитических и численных методов с методом статистического моделирования позволяет детально проанализировать исследуемую систему. При малых значениях параметров системы удается получить решение точными аналитическими методами и проанализировать предельные случаи при асимптотическом поведении характеристик изучаемой системы. Полученные сведения дополняются результатами статистического моделирования в области реальных значений параметров системы.

Оценивая результаты исследований систем распределения информации любыми математическими методами, следует помнить, что математика оперирует не с реальными системами, а с их математическими моделями. Так как математические модели всегда лишь приближенно описывают реальные системы, то никакие математические методы не могут заменить исследований, проводимых на реально функционирующих системах.

1.5. Краткий исторический обзор развития теории телетрафика

Основы теории телетрафика были заложены в работах А. К. Эрланга в 1908–1918 гг. по исследованию пропускной способности полнодоступного пучка линий, обслуживающего простейший поток вызовов с потерями и с ожиданием. По-видимому, под влиянием статистической механики А. К. Эрланг ввел понятие статистического равновесия и использовал его как теоретическую основу для получения своих широко известных формул для вероятности потерь и ожидания. Он рассматривал входящий поток вызовов от бесконечного числа источников при показательном и постоянном времени обслуживания.

Труды А. К. Эрланга послужили толчком для других работ, которые были связаны с подтверждением, развитием или опровержением его результатов. В 1918 г. Т. Энгсет обобщил результаты А. К. Эрланга на случай обслуживания полнодоступным пучком потока вызовов от конечного числа источников нагрузки, в 1927 г. Г. О'Делл опубликовал результаты исследований по неполнодоступным ступенчатым включениям, Э. Молина – по теории группо-образования, в 1928 г. Т. Фрай написал первую книгу по теории вероятностей, в которой одна из глав была посвящена теории телетрафика. В 1933 г. советский математик А. Н. Колмогоров выполнил свою классическую работу по аксиоматическому обоснованию теории вероятностей, в которой идея А. К. Эрланга о статистическом равновесии была отождествлена со стационарной мерой марковского процесса. В этот период появились первые работы А. Я. Хинчина по исследованию систем с ожиданием.

В 1943 г. шведский ученый К. Пальм обобщил результаты А. К. Эрланга на случай обслуживания потока с ограниченным последействием, получил важные результаты по изучению колеблемости телефонной нагрузки. К этому времени в связи с разработкой координатных АТС появилась необходимость в методах расчета пропускной способности многозвеньевых коммутационных систем. Первое большое исследование в этом направлении было выполнено в 1950 г. К. Якобеусом и основывалось на априорных распределениях вероятностей состояний системы. Другой метод расчета потерь в таких системах – метод вероятностных графов – был предложен К. Ли в 1955 г.

Обобщение и развитие методов теории телетрафика и, в первую очередь, работ А. К. Эрланга и К. Пальма были выполнены А. Я. Хинчиным в 1955 г. В виде отдельной книги работа издана в 1963 г. [56].

Дата добавления: 2014-11-29