Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка

Полнодоступный пучок емкостью u(1£u£¥) линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями, обслуживает вызовы, образующие простейший поток с параметром l. Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону (F (t) = 1 – е^{- t} , b=1). Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь по времени p_t, по вызовам р _в и по нагрузке р _н.

Параметр простейшего потока l является постоянной величиной, не зависящей от состояния коммутационной системы. Поэтому в (4.13) – (4.15) при любых значениях k вместо l _k используется величина l, и эти формулы преобразуются к виду:

Сокращая числитель и знаменатель на l, получим

Формула (4.16) называется распределением Эрланга. Она показывает, что вероятность р_i зависит только от числа занятых линий i, емкости пучка uи величины параметра потока вызовов l. По этим соображениям вероятность p_i принято обозначать E_{i, u}(l), а вероятность p _u – через E _{u, u}(l)или E _u(l).

Из (4.17) и (4.18) следует, что

При выводе (4.13) – (4.15), а следовательно, и (4.16) – (4.18') средняя длительность занятия принята равной единице; отсюда и параметр длительности занятий при показательном законе распределения b=1. В общем случае при измерении длительности занятий в любых единицах времени (b¹1) распределение Эрланга имеет следующий вид:

Установим зависимость вероятностей р_i от интенсивности поступающей нагрузки у: y =m` t =m/b=l/b, где m – интенсивность потока вызовов; ` t– средняя длительность занятия. Для простейшего потока, который является ординарным и стационарным, m=l. Тогда распределение Эрланга имеет вид

и, в частности, вероятность того, что в полнодоступном пучке заняты все u линий (i= u),равна

В (4.23) p_i есть вероятность того, что в произвольный момент t бесконечный пучок находится в состоянии i.

Распределение Эрланга определено в предположении показательного распределения длительности занятий. Б. А. Севастьянов показал, что полученная формула справедлива при произвольном (а не только показательном) распределении длительности занятий, если средняя длительность занятий является конечной величиной.

Логический анализ вероятностей E_{i ,u} (y). 1. Вероятность p_i=E_{i, u}(y) – вероятность того, что в произвольный момент времени t стационарного режима в полнодоступном пучке емкостью u линий, который работает в режиме с потерями и обслуживает поступающую нагрузку интенсивностью у, создаваемую простейшим потоком вызовов, занято точно i линий.

2. Пусть имеется n (n ®¥)полнодоступных пучков одной и той же емкости u, на каждый из которых поступает нагрузка интенсивностью у. Тогда вероятность E_{i, u}(y) – доляпучков, в которых в произвольный момент t занято точно по i линий, т. е.

где n_i (t) – число пучков, которые в момент t находятся в состоянии i.

3. Если фиксировать состояния определенного полнодоступного пучка в т (т ®¥)произвольных моментов времени t, то E_{i ,u}(у) есть доля моментов t, в которые пучок находится в состоянии i, т. е. где m_i – число произвольных моментов t, в которые в пучке занято точно i линий.

4. Вероятность E_{i ,u}(y) –доля времени (на промежутке T ®¥), в течение которого в полнодоступном пучке занято точно i линий (пучок емкостью v линий обслуживает поступающую нагрузку у).В частности, доля времени (на промежутке Т ®¥),в течение которого заняты все uлиний полнодоступного пучка, равна вероятности p _u, определяемой по (4.22).

Вероятность потерь по нагрузке. Математическое ожидание и дисперсия нагрузки. Вероятность потерь по нагрузке р _ннайдем из соотношения

где y _п – интенсивность потерянной y – интенсивность поступающей нагрузок. Учитывая, что у _п =у–у _o, определим интенсивность обслуженной полнодосупным пучком нагрузки у _o, которая равна математическому ожиданию нагрузки, обслуженной в единицу времени. По теореме о количественной оценке обслуженной нагрузки

где i – число занятых линий в пучке; р_i – вероятность нахождения пучка в произвольный момент времени в состоянии i. Правая часть выражения (4.25) соответствует математическому ожиданию числа одновременно занятых линий, т. е. интенсивность обслуженной нагрузки равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка.

Подставляя в (4.25) значение p_i, определяемое (4.21), получим

Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки равна произведению интенсивности поступающей нагрузки у на вероятность того, что в пучке имеется хотя бы одна свободная линия

Из (4.26) также следует, что если u®¥,то р _u®0, т. е. интенсивность обслуженной нагрузки в системе без потерь равна интенсивности поступающей нагрузки. Действительно, используя (4.23), получаем

Из соотношений (4.24) и (4.26) получаем значение интенсивности потерянной нагрузки:

Отсюда p _н= p _u. Следовательно, при обслуживании с потерями вызовов простейшего потока линиями полнодоступного пучка, которые включены в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке равны между собой и равны вероятности того, что пучок находится в состоянии u:

Формула потерь в полнодоступном пучке (4.28) называется первой формулой Эрланга. Функция E _u(y)(или, что то же, функция E _u(l)при средней длительности занятия, равной единице) табулирована. Таблицы первой формулы Эрланга построены так, что по числу линий uи интенсивности поступающей нагрузки у (или параметру потока l)отыскиваются потери E _u(y).Эти таблицы позволяют по двум любым заданным величинам из u, у и E _u(y) находить третью.

Определим дисперсию обслуженной D (y ₀)и поступающей D (y) нагрузок;

Из (4.30) следует, что дисперсия поступающей нагрузки равна ее математическому ожиданию. Сопоставление (4.29) с (4.26) показывает, что дисперсия обслуженной нагрузки меньше ее математического ожидания. Таким образом, обслуженная нагрузка имеет меньший диапазон колебаний, т. е. имеет более выровненный характер по сравнению с поступающей нагрузкой. Отсюда дисперсия потерянной нагрузки больше ее математического ожидания (4.27), т. е. потерянная нагрузка имеет менее равномерный характер по сравнению с поступающей нагрузкой.

Рекуррентное соотношение функции Эрланга. Используя (4.21), получаем, что

p_i / p_{i –1}= y / i, откуда

Рекуррентное соотношение (4.31) показывает, что в области значений i<у отношение (y / i)>1 и вероятности p_i>p_{i- 1},а в области i > y отношение (y / i) < 1и p_i<p_{i- 1}. Таким образом, до значения i –1 = y вероятности p_i с увеличением i возрастают. При этом наибольших значений достигают рассматриваемые вероятности p_i=p_{i- 1}при i=y, если у – целое число, и p_i при i –1=[ у ], если у – нецелое число. Затем по мере увеличения i происходит уменьшение значений р_i. Характер зависимости p_i=f (i)при у= 12 Эрл и u=20 показан на рис. 4.2. Огибающие кривые дискретных значений функции р_i для y =6, 12, 18 Эрл и u=12 приведены на рис. 4.З а и для тех же значений у и соответственно u=14, 22 и 30 – на рис. 4.3 б. Огибающие p_i = f (i) по своему характеру близки к огибающим кривым дискретных значений вероятности поступления точно k вызовов простейшего потока (распределение Пуассона – p_k (t) =f (k)).

Нагрузка, обслуживаемая каждой линией полнодоступного пучка. Обслуживание потока Пальма. На полнодоступный пучок любой емкости поступает нагрузка интенсивностью у. Искание свободных линий в пучке – упорядоченное с исходным положением: каждый поступающий вызов обслуживается свободной линией с наименьшим номером и теряется, если в момент поступления вызова заняты все линии пучка. Определим величину нагрузки, обслуживаемой каждой линией пучка.

Согласно (4.26) пучки емкостью i и i– 1 линий обслуживают соответственно нагрузки y ₀(i) и y ₀(i– 1):

Разность этих соотношений и определяет нагрузку h_{o i} , обслуживаемую i- йлинией пучка любой емкости, если на этот пучок поступает нагрузка интенсивностью у:

Обратим внимание на высокое использование первой линии пучка при обслуживании им даже небольшой по величине нагрузки. По (4.32) h_o1 =y (E ₀(y) –E ₁(y)).Согласно формуле Эрланга (4.22) E ₀(y) = 1, E ₁(y) =y/ (1 +y).Отсюда h_o1 =y /(1 +y).

Значение Е _o(у) = 1можно получить и не пользуясь формулой Эрланга. Действительно, при u=0 ни один из поступающих вызовов не обслуживается, вся поступающая нагрузка теряется и потери равны единице.

При y =100, 50 и 10 Эрл первая линия пучка соответственно пропускает нагрузки h_o1=0,99; 0,98 и 0,91 Эрл. Средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одной линией пучка, h =y _o/uтембольше, чем больше емкость пучка. В пучках большой емкости(u>50) даже в области малых потерь (р _u£0,01) достигается высокое использование линий пучка u,только на 15–20% ниже h_o1. Естественно, что высокое качество обслуживания – малая величина потерь – приводит к небольшому использованию последних линий пучка. Приведенные утверждения иллюстрируются следующим численным примером.

Полнодоступными пучками емкостью u₁=121, u₂=66 и u₃=19 обслуживаются соответственно поступающие нагрузки y ₁=100, y ₂=50 и y ₃=10 Эрл при заданных потерях E _u(y)=0,005. Значения h, h_o1 и h_ou в эрлангах указаны в табл. 4.1.

ТАБЛИЦА 4.1

y, Эрл	u	h	ho1	hou
		0,83	0,99	0,101
		0,76	0,98	0,079
		0,53	0,91	0,034

Упорядоченное искание свободных линий полнодоступного пучка приводит к тому, что первая линия пучка обладает наибольшей пропускной способностью. С увеличением номера линии уменьшается обслуживаемая ею нагрузка – h_o1>h_о2>... >h_ou. Указанное является следствием не только того обстоятельства, что на каждую последующую линию пучка поступает нагрузка меньшей интенсивности. На снижение пропускной способности существенно влияет и тот факт, что на 2, 3,..., u-ю линии пучка поступают нагрузки, создаваемые потоком Пальма (см. гл. 2). Этот поток по пропускной способности хуже простейшего потока. Объясняется это тем, что он характеризуется большей неравномерностью промежутков между вызовами, так как на i -ю (i= 2, 3,...,u)линию пучка поступает только часть вызовов общего потока и эта часть вызовов приходится только на те интервалы времени, на протяжении которых заняты все предшествующие i –1 линии пучка. В эти интервалы поток поступающих на i- юлинию вызовов имеет параметр, равный параметру простейшего потока, поступающего на первую линию пучка. Естественно, что чем больше значение i,тем большей неравномерностью промежутков времени между вызовами обладает поток Пальма, поступающий на эту линию пучка. Поэтому при упорядоченном искании в случае поступления на разные линии полнодоступного пучка потоков Пальма с одинаковой интенсивностью линия с большим номером обладает меньшей пропускной способностью по сравнению с линией, имеющей меньший номер. Изложенное иллюстрируется рис. 4.4 и 4.5.

На рис. 4.4 показаны зависимости интенсивности- нагрузки h_o1, обслуживаемой i -й линией пучка, от интенсивности нагрузки у,поступающей на первую линию этого пучка, т. е. h_{o i} = f (y), где h_{o i} определяется по (4.32). Кривые h_{o i} = f (y_i), где y_i – интенсивность поступающей на i -ю линию нагрузки, показаны на рис. 4.5. Последнее семейство кривых наглядно иллюстрирует и позволяет получить количественную оценку пропускной способности разных линий полнодоступного пучка при упорядоченном искании линий, на которые поступают потоки Пальма равной интенсивности. Так, например, если на i -ю линию пучка поступает нагрузка интенсивностью y_i =2 Эрл, то при i =l получаем h_o1=0,67 Эрл, а при i= 10, 20, 40, 80 нагрузка, обслуживаемая i -й линией, снижается с увеличением номера этой линии по сравнению с первой линией пучка соответственно на 24, 36, 46 и 55%.

Приведенный пример показывает, что неравномерность промежутков между вызовами потока Пальма приводит к существенному уменьшению пропускной способности разных линий пучка по сравнению с обслуживанием этими линиями простейшего потока равной интенсивности. Из рис. 4.5 также следует, что с повышением величины y_i пропускная способность разных линий пучка снижается менее интенсивно.

Характер зависимостей между у,u и E _u(y).Принимая во внимание, что p_t=p _в =p _н =p _u, используем для вероятности потерь обозначение р,т. е. p _u =E _u(y) =p.

Зависимость y = f (u) при p =const (p ₁=0,005; p ₂=0,02; р ₃=0,05) приведена на рис. 4.6. Из рисунка видно:

1. При заданном качестве обслуживания поступающих вызовов (p =const) с увеличением емкости пучка u повышается его пропускная способность. Так, при р =0,005 пучок u=20 линий обслуживает поступающую нагрузку y =11,1 Эрл, а пучок u=40 линий– у =27,4 Эрл, т. е. при увеличении емкости полнодоступного пучка с u = 20до u = 40(в 2 раза) интенсивность поступающей нагрузки повышается в 2,47 раза.

2. При заданной величине интенсивности поступающей нагрузки (y =const) чем больше допустимые потери р, тем меньше тре-

буется линий в пучке для обслуживания поступающей нагрузки, т. е. если p ₃ >p ₂ >p ₁, то при y = y ₁=const u₃ < u₂ < u₁.

3. При заданной емкости пучка линий (u=const) чем больше величина потерь р,тем большей пропускной способностью обладает пучок, т. е. если р ₃ >р ₂ >p ₁, то при u=u₁=const y ₃' >y ₂' >y ₁'.

Нагляднее рассматриваемая зависимость иллюстрируется интенсивностью поступающей нагрузки, отнесенной к одной линии пучка – c =y /u.На рис. 4.7 приведено семейство кривых, характеризующих зависимость c= f (u) при p =const (p ₁=0,005; р ₂=0,02; p ₃=0,05). По аналогии с рис. 4.6 рассматриваемая зависимость показывает, что при:

а) c=const, если р ₁ <р ₂ <р ₃,то u₁>u₂>u₃;

б) u=const, если р ₁ <р ₂ <р ₃, то c₁<c₂<c₃;

в) p =const, если u₃ > u₂ > u₁, то c₃>c₂>c₁.

В случае p =const увеличение емкости пучка линий сказывается на повышении его пропускной способности тем существеннее, чем меньше емкость пучка: при u₃ > u₂ > u₁имеет место неравенство

Таким образом, при р= const с увеличением емкости пучка линий пропускная способность пучка всегда повышается, однако скорость увеличения пропускной способности снижается (это утверждение справедливо в области малых и средних потерь).

Характер рассматриваемых зависимостей дополним семейством кривых (сплошные линии) c= f (p) и h =f (p)(пунктирные линии) при u=const (рис. 4.8). Из рисунка видно, что при u=const с ростом потерь увеличивается пропускная способность пучка: при u=const, если p ₃ >p ₂ >p ₁, то c₃>c₂>c₁ и h₃>h₂>h₁. В области малых и средних потерь справедливо следующее неравенство:

Повышение величины потерь приводит к увеличению пропускной способности полнодоступного пучка линий, однако скорость увеличения удельной поступающей нагрузки снижается с возрастанием потерь.

В области больших потерь, наоборот, с увеличением вероятности потерь скорость увеличения удельной поступающей нагрузки повышается:

Однако в области больших потерь допустимое значение интенсивности поступающей нагрузки у не дает наглядной характеристики качества обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов, так как основная часть поступающих вызовов не обслуживается, а теряется. Поэтому пропускную способность пучка линий обычно характеризуют не величиной c,а величиной h.

Для средней пропускной способности одной линии пучка во всей области потерь (0£ p £1) справедливо соотношение

4.3. Обслуживание вызовов примитивного потока

Дата добавления: 2014-11-29