Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. 5 страница

где Ф₀(z) – интегральная форма функции, предназначенная для вычисления значений функции нормального распределения и определяемая по формуле

Функция Ф₀ (z) табулирована. В (7.11) и при заданной доверительной вероятности p (z * _n _₁) с увеличением числа экспериментов п повышается точность статистической оценки, т. е. уменьшается доверительная граница статистической оценки е, а следовательно, сокращается доверительный интервал (`х –e, `х+ e ). Поэтому рекомендуется, чтобы количество серий п при моделировании исследуемой коммутационной системы было достаточно большим – желательно, чтобы n ³50. Расчетами установлено, что при таких значениях п достигается и достаточно устойчивое значение статистической оценки среднеквадратического отклонения s.

Задача.

Исследуется коммутационная система с потерями, в которой необходимо определить вероятность потерь р при определенных параметрах системы и заданной величине интенсивности поступающей нагрузки. Моделирование коммутационной системы проведено 3 раза с различным числом экспериментов (серий): n ₁=16, n ₂=25, n ₃=49. В результате каждого процесса моделирования получены одинаковые статистические оценки среднего значения потерь р и среднеквадратического отклонения s, а именно: р =0,005 и s=0,01.

Определить: доверительные интервалы вероятности потерь р для трех процессов моделирования при доверительной вероятности p(z*_{n- 1} ) =0,95.

Решение. Значения коэффициента z *_n-1 табулированы в зависимости от доверительной вероятности p(z*_{n- 1} ) и числа степеней свободы n –1 [29]. Для p (z * _{n –1})=0,95 и n ₁–1=15 значение коэффициента z *_n-1=2,13. Из соотношения определяем e₁=0,0053. Доверительный интервал составит (` р –e<sub>1</sub>< p <` p +e₁)=(–0,0003< p <0,0103).

Для n ₂=25 и n ₃ = 49 коэффициент z можно определять в предположении, что величина  р распределена по нормальному закону. В этом случае при p (z * _{n -1})=0,95 значение z =l,96. Тогда при n ₂=25 и n ₃=49 соответственно e₂=0,004 и e₃=0,0028 и доверительные интервалы (0,001 <р< 0,009) и (0,0012< р <0,0078).

Таким образом, рассмотренная задача показывает, что при определенной доверительной вероятности p(z*_{n- 1} ) с увеличением числа экспериментов п сокращается доверительный интервал.

Контрольные вопросы

1. Как формируется непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1] с помощью моделирования дискретной случайной величины?

2. В чем заключается принцип моделирования непрерывной случайной величины, распределенной по любому закону?

3. В чем сущность и каковы достоинства моделирования цепью Маркова процесса обслуживания потока вызовов коммутационной системой?

4. Что представляют собой статистические характеристики моделирования?

5. Как определяются точность и достоверность результатов моделирования?

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

Неполнодоступное включение. Системы с потерями

8.1. Общие сведения

Неполнодоступная коммутационная схема (НС) – это схема с таким включением выходов, при котором каждому входу доступны не все, а лишь некоторая часть выходов, хотя в совокупности все входы могут использовать все выходы.

Совокупность входов НС, каждому из которых доступны одни и те же d выходов, называется нагрузочной группой. Число нагрузочных групп обозначается g. Число выходов d НС, каждый из которых доступен каждому входу одной нагрузочной группы, называется доступностью. Чаще всего применяются такие НС, у которых доступность для всех нагрузочных групп одинакова.

На рис. 8.1 а приведена четырехгрупповая схема неполнодоступного включения. Схема характеризуется следующими параметрами: число нагрузочных групп g =4; число выходов u = 4 k ₁ + 2 k ₂+ k ₄=16; доступность выходов d = k ₁+ k ₂+ k ₄=10; число индивидуальных выходов в каждой группе k ₁=1; число выходов, общих для двух групп, k ₂=3; число выходов, общих для четырех групп, k ₄=6.

В схеме, приведенной на рис. 8.1 а, число объединяемых точек коммутации монотонно возрастает с увеличением порядкового номера точки в ряду, относящемуся к одной группе. Такие неполнодоступные схемы называют схемами ступенчатого включения.

В схемах ступенчатого включения могут объединяться точки коммутации несоседних групп (перехваченные включения) и точки коммутации с разными номерами (сдвинутые включения). На рис. 8.1 б приведена схема ступенчатого включения с теми же параметрами, что и схема на рис. 8.1 а. Коммутационные точки с порядковыми номерами 3 и 4 здесь объединяются с применением перехваченного, а точки 5–10 – сдвинутого включения.

Другой разновидностью неполнодоступных схем являются равномерные схемы неполнодоступного включения. На рис. 8.1 в при ведена четырехгрупповая схема с теми же параметрами, что и две предыдущие. В отличие от ступенчатой схемы, равномерная схема строится по принципу объединения точек коммутации у одинакового числа групп при образовании любого общего выхода. На рис. 8.1 в видно, как объединяются по две или три точки коммутации, принадлежащие разным группам. Здесь применяются также сдвинутое и перехваченное включения.

Равномерная схема рис. 8.1 в состоит из четырех элементарных подсхем, каждая с одинаковым сдвигом между соседними шагами искания. Такие элементарные подсхемы называются цилиндрами.

Для заданных значений параметров d иuв случае двухгруппо-вого включения (g =2) существует лишь один вариант структуры неполнодоступного включения (один набор значений структурных параметров k ₁и k ₂ ). Для многогруппового включения (g>2) каждому значению параметров d иuможет соответствовать несколько вариантов структуры, и при достаточно больших g, d иuчисло вариантов может быть велико.

Неполнодоступная схема имеет существенные отличия от полнодоступной. В полнодоступной схеме (ПС) d ³u, в неполнодоступной схеме d< u. Кроме того, в полнодоступной схеме (см. гл.4) характер включения выходов в точки коммутации и порядок искания свободного выхода не влияют на вероятность потерь при заданной интенсивности поступающей нагрузки, учитываются только макросостояния. В неполнодоступной схеме характер включения выходов и порядок искания существенно влияют на пропускную способность НС, так как вероятность потери поступающего вызова в общем случае зависит не только от числа выходов, но и от того, какие выходы заняты, т. е. необходимо учитывать микросостояния.

В связи с этим метод исследования полнодоступной схемы с помощью системы уравнений для вероятностей состояний, как правило, непригоден для НС из-за большого числа уравнений в системе, которая не может быть решена в хоть сколько-нибудь приемлемое время даже с помощью быстродействующих ЭВМ. Решение системы уравнений для вероятностей состояний НС возможно лишь для неполнодоступных схем, рассчитанных на небольшое число линий или схем, обладающих свойствами симметрии, как это имеет, место в случае идеально симметричного неполнодоступного включения, для которого можно ограничиться рассмотрением только макросостояний, а следовательно, и число уравнений сравнительно мало. К сожалению, эти случаи не имеют существенного практического значения и представляют лишь теоретический интерес для получения оценок вероятности потерь.

В практике проектирования обычно пользуются приближенными инженерными методами, которые основаны на априорных предположениях не о поступающем потоке вызовов, а о промежуточных или конечных результатах его воздействия на НС, т. е. о характере распределения числа занятых выходов схемы или о средней нагрузке, обслуженной каждым выходом НС. К таким методам можно отнести известные методы О'Делла, Бабицкого, Лотце (модифицированная формула Пальма–Якобеуса) и другие.

В некоторых приближенных инженерных методах используются свойства определенных видов НС с тем, чтобы отдельные части такой НС представить в виде полнодоступной схемы и воспользоваться сравнением НС с некоторой эквивалентной ПС (метод эквивалентных замен).

Основные цели, преследуемые при теоретическом анализе НС, заключаются в том, чтобы при заданной доступности определить число выходов НС, требуемых для обслуживания заданной нагрузки при установленном качестве обслуживания (вероятности потерь для систем с потерями), и определить оптимальную структуру НС (способ включения выходов в точки коммутации схемы при заданном порядке искания свободного выхода).

8.2. Некоторые характеристики неполнодоступных схем

Матрица связности. Одной из характеристик неполнодоступной схемы является число связей, т. е. число соединений между точками коммутации (контактами) отдельных нагрузочных групп НС. Так, на рис. 8.1 а первая группа имеет девять связей со второй группой (на 2–10-м шагах искания), вторая группа – шесть связей с третьей, третья группа – девять связей с четвертой и т. д. Число связей между каждой парой групп можно представить в виде матрицы связности. Матрица связности является квадратной-симметричной относительно главной диагонали матрицей порядка g, где g – число нагрузочных групп неполнодоступной схемы.

На рис. 8.1 г, д, е, приведены матрицы связности для неполнодоступных схем, изображенных на рис. 8.1 а, б, в. Схемы имеют одинаковое число групп g = 4, одинаковую доступность d = 10, одно и то же число выходов u=16, отличаются способом соединения точек коммутации. Элементы главной диагонали равны доступности d. Элементы, стоящие на пересечении строки и столбца, показывают число связей между группами, соответствующими номерам строки и столбца. Элементы столбца, расположенного справа от матрицы, указывают на суммарное число связей соответствующей группы с остальными. Как видно из рис. 8.1, и суммарное число связей у каждой группы с другими и равномерность их распределения по группам различны у разных схем.

Суммарное число связей у первых двух неполнодоступных схем больше, чем у третьей равномерной схемы. Наиболее равномерно распределены связи каждой группы с другими во второй НС.

Исследования показывают, что при прочих равных условиях схема, обладающая более равномерной матрицей связности, имеет в определенных случаях преимущество перед схемой с менее равномерной матрицей. Считают, что если разница между любыми двумя элементами матрицы связности и разница между любыми двумя элементами столбца, расположенного справа от матрицы, не превышают по абсолютной величине единицу, то неполнодоступная схема построена хорошо. Матрица, удовлетворяющая указанным условиям, обеспечивает одинаковую связность каждой из нагрузочных групп с любой другой и одинаковую суммарную связность каждой из групп со всеми остальными. При одинаковой нагрузке на каждую из нагрузочных групп НС, обладающая такой матрицей связности, характеризуется одинаковым влиянием всех нагрузочных групп друг на друга. Однако матрица связности не может служить полной характеристикой НС. Существенное значение имеет также распределение связей по шагам искания, учет порядка искания в НС и др.

Коэффициент уплотнения. Для характеристики схемы неполнодоступного включения используют коэффициент уплотнения

Значения g лежат в пределах l<g<g. При g =g неполнодоступ-ная схема превращается в полнодоступную ( u =d), а при g = 1неполнодоступная схема распадается на g изолированных полно-доступных схем. Таким образом, чтобы НС не распадалась на g отдельных ПС, должно соблюдаться неравенство g > 1.

Для уточнения величины gможно привлечь следующие соображения. При проведении предварительного запараллеливания надо получить такое число групп, чтобы телефонная нагрузка, создаваемая каждой группой, была меньше нагрузки, которую могут обслужить d линий полнодоступного пучка при заданных потерях.

Если при заданных потерях р интенсивность нагрузки, обслуживаемой всеми uлиниями неполнодоступного пучка, равна y _0НС (p, u, d), то ее можно представить в виде

где h_НС (p, u, d) – средняя нагрузка, пропускаемая каждой линией неполнодоступного пучка, состоящего из uлиний.

При равномерном распределении нагрузки между группами нагрузка каждой группы будет равна

Интенсивность нагрузки у _0ПС (p, u =d), обслуживаемой полнодоступным пучком, состоящим из d линий, при заданных потерях p может быть выражена как y _0ПС (p, u, d)=d h _HC(p, u =d). В соответствии с вышесказанным [uh_HC (p, u, d)]/ g<d h_ПС (p, u =d), откуда

Из неравенства (8.2) видно, что нижняя граница g зависит от величины потерь р, числа линий в пучке uи доступности d. Для столинейного неполнодоступного пучка (u=100) с доступностью d =10при потерях р =0,001 неравенство (8.2) выглядит следующим образом: g>1,6.

Практика эксплуатации телефонных систем и теоретические исследования показывают, что величину коэффициента уплотнения следует выбирать в пределах g=2¸4.

При малых коэффициентах уплотнения уменьшается пропускная способность неполнодоступного пучка за счет того, что среди возможных при таком у схем неполнодоступного включения может не оказаться схемы с достаточно хорошей пропускной способностью. При больших g увеличивается расход кабеля на АТС.

Из предыдущего соотношения вытекает, что предварительное запараллеливание нужно производить так, чтобы получить число групп g, удовлетворяющее условию

8.3. Выбор структуры ступенчатой неполнодоступной схемы

При выборе структуры НС преследуют несколько целей. Среди них: получение максимальной пропускной способности при заданных параметрах схемы; уменьшение чувствительности к асимметрии нагрузки по нагрузочным группам; достижение гибкости при изменении параметров схемы; сокращение времени, необходимого на выбор структуры и ее осуществления, и др. В некоторых случаях соответствующим выбором структуры требуется увеличить переходное затухание между соединительными устройствами, подключенными к выходам НС.

Выбрать структуру ступенчатой НС (схему ступенчатого включения) – это значит определить взаимные соединения точек коммутации каждой из нагрузочных групп с учетом возможностей различных объединений, перехвата и сдвига. При определении вариантов структуры НС, отличающихся способами объединения точек коммутации без учета перехвата и сдвига, возникает задача отыскания значений структурных параметров g, k ₁, k ₂ ,..., k_n для заданных uи d.

При составлении схемы ступенчатого включения надо стремиться к тому, чтобы параметр g выбирался из соотношения (8.3) с учетом того, что g – целое, положительное число. При этом принимаются во внимание удобства конструктивного разделения источников нагрузки на группы и преимущества таких значений g, которые дают больше различных комбинаций запараллеливания выходов.

В случае двухгруппового включения (g=2) существует один набор значений структурных параметров k ₁и k ₂, для которых справедливы соотношения

Для числа групп g>2 число вариантов структуры может быть большим. Пусть, например, требуется выбрать структуру ступенчатой НС, имеющей u=27 выходов для включения соединительных устройств при доступности d =10. В этом случае число групп g должно лежать в пределах

В указанном диапазоне возможны значения g =6, 7, 8, 9, 10. Учитывая, что при построении схемы без сдвига значения 6, 8 и 10 дадут больше возможностей запараллеливания выходов, чем значения 7 и 9, принимая во внимание, что при g=6 будет минимальный расход кабеля, а также считая, что в нашем примере число источников нагрузки таково, что оно удобно делится на шесть групп, выберем g= 6(шестигрупповое включение).

Таким образом, запараллеливанием 60 точек коммутации необходимо получить 27 выходов. В этом случае возможно образовать индивидуальные, парные, объединенные по три и объединенные по шесть точек выходы. Тогда общее число выходов будет

адоступность

Учитывая, что k ₁, k ₂, k ₃и k ₆ – целые и положительные числа, каждое из которых не превышает 10, число вариантов структуры пучка будет конечным.

Вычитая равенство (8.7) из равенства (8.6), получим u –d= 5 k ₁+2 k ₂+ k ₃=17. Из этого соотношения следует, что k ₁£3, т. е. для k ₁нужно рассматривать только значения 0, 1, 2, 3. При k ₁= 3 будет справедливо соотношение 2 k ₂+ k ₃=2. Поэтому для k ₂ возможны значения 0 и 1. Если k ₂ = 1, то k ₃ = 0, а k ₆=6.

Таким образом, один из вариантов схемы, удовлетворяющий условиям (8.6) и (8.7), будет иметь следующие структурные параметры: k ₁=3; k ₂=1; k ₃=0; k ₆=6. Действуя указанным образом, можно получить еще одиннадцать вариантов, возможных при заданных условиях. Структурные параметры всех вариантов приведены в табл. 8.1. На рис. 8.2 показаны схемы вариантов структуры неполнодоступного пучка, представленных в табл. 8.1.

Таблица 8.1.

Структурные параметры

Величина параметра для номера варианта

k 1

k 2

k 3

k 6

Наилучшим вариантом ступенчатого включения при заданном качестве обслуживания и прочих равных условиях будет тот, который дает наибольшую пропускную способность или при котором вероятность потерь при заданной величине нагрузки будет наименьшей. При отыскании наилучшего варианта неполнодоступной схемы вообще и ступенчатого включения в частности следует иметь в виду, что не существует схемы с лучшей пропускной способностью при любых значениях нагрузки. При заданных параметрах g, d и uнеполнодоступной схемы в одной области нагрузки может оказаться предпочтительнее (обеспечивающей меньшие потери) одна структура НС, а в другой области нагрузки – другая. М. А. Шнепс показал, что для схем с упорядоченным исканием свободной линии при малых нагрузках выгоднее использовать ступенчатые схемы с индивидуальными выходами, а при больших нагрузках – равномерные схемы. Для повышения пропускной способности НС существенное значение имеют перехваченные включения, которые во многих случаях позволяют снизить потери. При этом перехваченные включения без сдвига имеют несколько большую пропускную способность, чем перехваченные включения со сдвигом. Однако при доступностях d ³10 отрицательное влияние сдвига уже почти не сказывается.

В неполнодоступных схемах со случайным исканием наличие или отсутствие сдвига не влияет на пропускную способность НС. В настоящее время точное решение задачи определения пропускной способности возможно для схем с небольшим числом uвыходов и связано с большим объемом вычислений, а приближенное решение задачи может быть осуществлено путем моделирования на универсальных ЭВМ или специализированных машинах телефонной нагрузки.

Использование методов статистического моделирования позволило установить существенную зависимость эффективности НС от распределения числа выходов (линий) по шагам искания. Поэтому при практическом построении ступенчатых НС в области потерь до 1% ЛОНИИС рекомендует распределять число линий по шагам искания в соответствии с оптимизирующими коэффициентами z _j, вычисленными А. М. Оганесяном. В этом случае число выходов u _j на j -м шаге искания определяется из соотношения

где u – суммарное число выходов в неполнодоступной схеме.

Для ступенчатой НС на u =27 выходов с доступностью d =10 распределение выходов по шагам искания приведено в табл. 8.2.

ТАБЛИЦА 8.2

Шаг исканий j											Сумма
Значение коэффициента z j	0,19	0,13	0,12	0,11	0,1	0,09	0,08	0,07	0,06	0,05
Число выходов u j	5,13	3,51	3,24	2,97	2,7	2,43	2,16	1,89	1,62	1,35
Округленное число выходов на каждом шаге
Округленное число выходов с учетом использования цилиндров

Указанное в третьей строке таблицы число выходов на каждом шаге искания получается дробным, и его округляют с учетом числа групп g ступенчатой НС и способом объединения точек коммутации. Будем считать, что в нашем случае число групп g = 6, a сдвинутые соединения не применяются. Тогда для каждого шага искания с учетом симметрии схемы мы должны округлить значение числа выходов до чисел 6, 3, 2 или 1. Один из вариантов округления приведен в предпоследней строке табл. 8.2. Полученная с учетом оптимизирующих коэффициентов ступенчатая НС соответствует варианту 9 из табл. 8.1 и рис. 8.2.

При желании использовать сдвинутые соединения округления числа выходов можно производить с учетом образования цилиндров на двух или нескольких соседних шагах искания. При этом от каждого полного цилиндра получаем шесть выходов. В последней строке табл. 8.2 показан один из вариантов такого округления. В этом случае на шагах искания 3 и 4 образуется двухшаговый цилиндр, на шагах 5, 6, 7 и 8, 9, 10 строятся трехшаговые цилиндры.

Пропускная способность ступенчатой НС, полученная с помощью оптимизирующих коэффициентов, зависит, естественно, как от правильности используемых коэффициентов, так и от способа округления числа выходов.

8.4. Выбор структуры равномерной неполнодоступной схемы

Выбор оптимальной структуры равномерной неполнодоступной схемы производится исходя из следующих принципов:

1) каждая линия должна быть доступна одинаковому числу нагрузочных групп (при целом g) или числу групп, отличающихся не более чем на единицу (при дробном g);

2) каждая нагрузочная группа должна иметь одинаковое число общих линий со всякой другой группой (элементы матрицы связности должны быть одинаковы или отличаться не более чем на единицу);

3) каждая линия объединяет точки коммутации, принадлежащие к соседним шагам искания.

При заданных uи d не всегда есть возможность строго выдержать указанные принципы построения оптимальной равномерной схемы. В этом случае следует стремиться к максимально возможному их выполнению. В случае равномерной схемы, как и при ступенчатом включении, число групп g выбирается с учетом соотношения (8.3). После предварительного запараллеливания получаем gd точек коммутации.

На основании первого принципа точки коммутации должны запараллеливаться по r и r+ 1 точек, принадлежащих разным группам, где r= [(gd)/u] = [g], а квадратная скобка – знак целой части.

Число u_ линий, полученных путем запараллеливания по r +1 точек, и число u₂линий, получающихся запараллеливанием по r точек, определяются соотношениями

Наиболее удобно определить значения u_и u₂, если коэффициент уплотнения g представить в виде целой и дробной частей, в которых не производятся сокращения:

Тогда числитель дробной части будет равен числу u_, т. е. числу линий, обслуживающих по r +1 нагрузочных групп, а число линий u₂, обслуживающих по r нагрузочных групп, будет равно u₂ = u – u₁. Например, для схемы рис. 8.1 в коэффициент уплотнения может быть представлен в следующем виде: g =gd/ u = 4´10/16=2+8/16. Следовательно, u_=8, а u₂=16–8=8.

Если коэффициент уплотнения равен целому числу, то равномерная схема может иметь запараллеливание только по r точек.

Выполнение второго и третьего принципов осуществляется путем составления всех схем из отдельных подсхем, которые иногда называют цилиндрами. Каждая такая подсхема (цилиндр) охватывает r или r +1 соседних шагов искания и образует число линий, равное числу групп g. Например, схема, приведенная на рис. 8.1 в, имеет r =2 и построена из цилиндров двух типов: цилиндров, охватывающих по два соседних шага искания, и цилиндт ров, занимающих по три соседних шага искания. В этом примере вся схема состоит из четырех цилиндров (однотипно построенных подсхем). Если вся схема состоит только из цилиндров, то такую схему называют правильной. Для того чтобы при заданных значениях u, d и g схема была правильной, необходимо, чтобы величины

были целыми числами. Здесь l_r – число r -шаговых цилиндров; l_r +1 – число (r + 1)-шаговых цилиндров.

Параметры uи d для правильной схемы будут выражаться следующим образом:

Если соотношение (8.10) не выполняется и схема не может быть правильной, то поступают следующим образом:

Дата добавления: 2014-11-29