Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. 6 страница

1) при заданных параметрах g и d строится правильная схема с числом линий u ', удовлетворяющим условию (8.10) и близким к заданному числу линий u. Затем в полученной таким образом правильной схеме изменяется число линий так, чтобы довести его да требуемого значения u, соблюдая при этом указанные выше принципы;

2) при заданных g и d строятся максимально возможное число r -шаговых цилиндров, которое будет равно целой части отношения u₂ /g, и максимальное число (r +1)-шаговых цилиндров, которое будет равно [u_/ g ].После этого остается некоторое число шагов искания, которые запараллеливают с наименьшим нарушением указанных выше принципов.

8.5. Построение цилиндров

Цилиндр является элементарной равномерной НС, построенной на k шагах искания, с одинаковым сдвигом между соседними шагами искания. Каждый цилиндр образует g выходов, а коэффициент уплотнения цилиндра равен числу шагов искания (g =k).

На рис. 8.3 а, б, в показаны двухшаговые цилиндры (цилиндры, построенные на двух шагах искания). Все три цилиндра имеют одинаковое число нагрузочных групп g, одинаковое число выходов, равное числу групп, одинаковый коэффициент уплотнения g=2 и отличаются между собой сдвигом или, как его называют, наклоном. Наклон цилиндра, приведенного на рис. 8.3 а, равен единице (i= 1), а на рис. 8.3 б – двум (i =2). При выборе типа цилиндров при построении равномерных НС этот параметр имеет существенное значение. Его значения показаны на рис. 8.3 в квадратных скобках справа от соответствующего цилиндра. На рис. 8.3 г, д, е приведены три трехшаговых цилиндра. Все цилиндры имеют g выходов с коэффициентом уплотнения g=3. Отличаются между собой наклоном, который для трехшаговых цилиндров определяется двумя цифрами. Первая цифра указывает наклон (сдвиг) между первым и вторым шагами искания, а вторая цифра – между вторым и третьим шагами искания.

Аналогичным образом строятся четырехшаговый цилиндр параметры которого характеризуются тремя цифрами, и цилиндры с большим числом шагов искания.

Учитывая, что коэффициент уплотнения НС должен лежать в пределах 2–4, наиболее часто употребляемые цилиндры являются двух-, трех- или четырехшаговыми. Для однотипности рассмотрения одношаговым цилиндром называют цилиндр без сдвига, параметр которого равен нулю. Такие одношаговые цилиндры наряду с другими структурами специального вида (особые цилиндры, цикло-схемы) используются в том случае, когда рассматриваемая НС при заданных структурных параметрах не может быть правильной.

Общее число цилиндров, требуемых для построения практически используемых НС, невелико. Для удобства они сведены в таблицы [10], которые позволяют ускорить выбор структуры НС. В таблицах помимо параметров цилиндров указывается первая строка матрицы связности, что облегчает выбор необходимых цилиндров и подсчет матрицы связности всей НС, которая позволяет судить об оптимальности выбранной схемы.

8.6. Идеально симметричная неполнодоступная схема

Идеально симметричной неполнодоступной схемой называют схему, которая при числе выходов u, доступности d и случайном равновероятном искании свободного выхода имеет число групп g, равное

где C^d _u – число сочетаний из uпо d. Таким образом, в идеально симметричной НС имеется такое количество нагрузочных групп, которое равно числу способов выбора d различных линий из общего числа uлиний. В коммутационные точки каждой нагрузочной группы включается d различных линий. Любые две нагрузочные группы отличаются друг от друга, по крайней мере, одной линией.

Вообще, нагрузочной группе любого неполнодоступного включения, а не только идеально симметричного, предоставляется доступ к одному из сочетаний, состоящему из d различных линий, выбранных среди всех v линий НС (см. рис. 8.1). Однако в обычной неполнодоступной схеме из-за малого числа групп используются далеко не все сочетания по d линий. Например, в схемах, приведенных на рис. 8.1, из большого числа возможных сочетаний, равного С ¹⁰₁₆, используется только по четыре сочетания.

Идеально симметричная НС отличается от обычной тем, что для каждого из возможных сочетаний по d линий предусматривается отдельная нагрузочная группа. На рис. 8.4 а, б, в вкачестве примера приведены три идеально симметричных НС. На рис. 8.4 а изображена схема с доступностью d=2 и числом выходов u=3, при этом число нагрузочных групп равно g=C^d _u =C ²₃=3.Схема, приведенная на рис. 8.4 б,имеет четыре выхода при d =3и g =4. На рис 8.4 в приведена схема с параметрами u=4, d =2и g =6.

Каждая нагрузочная группа идеально симметричной НС пользуется своим набором выходов, отличающимся от другх наборов, по крайней мере, одним выходом. С этой точки зрения неполнодоступная схема, приведенная на рис. 8.4 г и имеющая g=C^d _u = С²₄=6 нагрузочных групп, не является идеально симметричной, так как нагрузочные группы 4 и 5 имеют доступ к одному и тому же набору выходов 3 и 4.

Следует отметить, что в силу свойств идеально симметричной схемы при одинаковой нагрузке каждой нагрузочной группы и равновероятном случайном выборе свободного выхода использование каждого выхода (нагрузка, обслуженная каждым выходом) будет одинаковым. Поэтому вероятность потерь для каждой нагрузочной группы будет одна и та же. При применении коммутационных устройств, обеспечивающих упорядоченное искание, использование выходов идеально симметричной схемы может быть одинаковым лишь в том случае, если для каждого набора d выходов из v будет такое число групп, которое обеспечит любые d! перестановок этих выходов. Это позволит получить одинаковую нагрузку на каждый из выходов идеально симметричной НС.

При упорядоченном искании число нагрузочных групп будет равно

Идеально симметричная неполнодоступная схема, как видно из (8.12) и (8.13), имеет большое число нагрузочных групп. Например, уже при емкости пучка u=10линий с доступностью d=4 для равновероятного искания число нагрузочных групп в соответствии с (8.12) будет равно g = С^d _u= С ⁴₁₀=210. При упорядоченном искании число групп резко увеличивается и по (8.13) в рассматриваемом примере составит g= d! C ^d_u = 4!C⁴₁₀=5040.

Если учесть, что практически используемые схемы имеют значительно большие uи d, то становится очевидной невозможность практического применения идеально симметричных НС. Как было указано ранее, эти схемы применяются лишь для оценки пропускной способности реальных НС.

Коэффициент уплотнения идеально симметричной схемы равен

для случая равновероятного искания и

для упорядоченного искания.

Из неполнодоступных схем идеально симметричного типа можно строить частично идеально симметричные НС. На рис. 8.5 приведена такая схема, которая построена с применением схем рис. 8.4 а, б. Она обладает некоторыми свойствами симметрии, позволяющими облегчить определение вероятности потерь. Число нагрузочных групп у частично идеально симметричной схемы меньше, чем у идеально симметричной при том же числе выходов и той же доступности.

8.7. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы

Рассмотрим следующую модель:

в выходы одвозвеньевой идеально симметричной неполнодоступной схемы с доступностью d включено uлиний;

на входы схемы поступает простейший поток вызовов с параметром l;

длительность обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону F(t)= 1 – е^{–b t} ;

если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой нет доступа к свободной линии (все d линий заняты), то вызов теряется. Требуется определить вероятность потерь.

Как было указано в гл. 4, для любого однородного транзитивногомарковского процесса с конечным числом состояний переходныe вероятности p_ji(t) того, что система, находившаяся в состоянии j, за время t перейдет в состояние i, имеют предел, не зависящий от начального состояния j. Если V(t) – число занятых линий в неполнодоступном пучке в момент времени t, то V(t) являетсяслучайным процессом с конечным числом состояний, поскольку число линий в НС конечно.

Процесс V(t) является марковским, так как будущее течение егоне зависит от прошлого, если известно настоящее, т. е. известно V (t ₀). Кроме того, этот процесс является однородным, поскольку переходные вероятности р_ji(t) зависят лишь от длины интервала t=t ₂ –t ₁и не зависят от расположения интервала на оси времени (т. е. от t ₂ и t ₁).И, наконец, V(t) является транзитивным марковским процессом. Это следует из того, что возможен переход из любого состояния j в любое состояние i пучка. Иначе говоря, переходная вероятность p_ji(t) отлична от нуля. Последнее можно подтвердить следующими соображениями. Если разбить интервал t на две части, то вероятность перехода из состояния j в нулевое состояние за первую часть интервала при условии, что не поступит ни одного вызова и освободятся все j занятых линий пучка, будет отлична от нуля. Точно так же вероятность перехода системы из нулевого состояния в состояние i (если произойдет i занятий и ни одного освобождения) за вторую часть интервала будет также отлична от нуля. Переходная вероятность P_ji(t) не меньше произведения вероятностей переходов из состояния j в нулевое состояние и из нулевого состояния в состояние i и поэтому отлична от нуля.

В общем случае неполнодоступная схема, в выходы которой включено uлиний, имеет 2^u микросостояний. Для идеально симметричной схемы достаточно рассмотреть только u+1 макросостояний аналогично тому, как это имеет место для полнодоступного пучка.

Запишем параметры потоков рождения и гибели (занятий и освобождений линий) для рассматриваемого процесса (рис. 8.6). Так как на входы схемы поступает простейший поток вызовов, то при i<d l₀ = l_ =... = l _{d -1} = l. Переход из состояния d в состояние d +1возможен только в том случае, если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой не занята хотя бы одна из d доступных линий. Если же вызов поступит от источника нагрузочной группы, в которой заняты все d доступных линий, то вызов теряется. Обозначим через g _i условную вероятность потери вызова при i занятых линиях. В идеально симметричной неполнодоступной схеме при i < d g _i =0, а при i ³ d g _i >0. Тогда вероятность того, что в состоянии i поступивший вызов займет свободную линию, будет равна 1–g _i.

Следовательно, для i ³ d l _i,=l(1–g _i). Таким образом,

Параметр потока освобождений

По аналогии с (4.12) при конечном числе состояний стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями:

Подставляя (8.16) и (8.17) в (8.18) и учитывая, что для i<.d g _i =0, получим

Для получения выражения для вероятности потерь воспользу-

емся формулой полной вероятности:

Так как при i < d g _i =0, то

Подставляя в (8.20) выражение для р_i из (8.19), получим

В (8.21) при x < d. Для того чтобы воспользоваться (8.21), необходимо вычислить g _i.

В общем случае для произвольной НС условные вероятности g _i зависят не только от числа i занятых выходов, но и от интенсивности поступающей нагрузки, структуры НС и алгоритма установления соединения. Для практически используемых НС определение условных вероятностей g _i представляет собой сложную комбинаторную задачу. Определение всех g _i в данном случае практически невозможно из-за большого числа состояний системы.

Особое место среди НС занимают идеально симметричные неполнодоступные схемы, так как в этих схемах число нагрузочных групп g=C^d _uи занятие d фиксированных линий блокирует одну определенную нагрузочную группу (C ^d_d=l).

Определим для идеально симметричной схемы число нагрузочных групп, блокируемых в состоянии i занятых выходов, если i ³ d. Очевидно, что число заблокированных групп равно числу способов выбора d выходов из i занятых выходов, т. е. C^d_i. Следовательно, условная вероятность того, что при i занятых выходах идеально симметричной НС поступающий вызов попадает в заблокированную группу, равна отношению числа заблокированных групп к общему числу групп. Поэтому условная вероятность блокировки g _i будет равна

Соотношение (8.22) справедливо, если возможные размещения свободных и занятых линий равновероятны, что имеет место в силу симметрии идеальной НС. Подставляя выражение для g _i в формулу для потерь (8.21), получим

Эта формула называется формулой Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы. Иногда ее называют третьей формулой Эрланга и обозначают B _{u, d} (у). Формула (8.23) табулирована [30].

8.8. Априорные методы определения потерь в неполнодоступных схемах

Постановка задачи. При проектировании объема коммутационного оборудования исходными данными являются интенсивность телефонной нагрузки, подлежащей обслуживанию, и допустимая величина потерь, определяющая качество обслуживания. По этим данным требуется определить число соединительных устройств, которые могут обслужить заданную нагрузку с требуемым качеством, и построить схему соединения, т. е. найти значения структурных параметров схемы. Выбранная структура схемы должна обеспечивать обслуживание нагрузки с заданным качеством при минимальном числе соединительных устройств.

Обе задачи, возникающие при проектировании коммутационного оборудования, – выбор схемы включения и определение числа соединительных устройств – взаимно связаны между собой и являются частями одной общей задачи определения минимального объема оборудования. Сложность решения этой общей задачи заставляет делить ее на две отдельные, из которых первая рассмотрена в парагр. 8.3 и 8.4. Решение второй задачи обычно ищут в виде р=f(у, u, d, g, СП), т. е. стремятся определить вероятность потерь р как функцию интенсивности нагрузки у, числа приборов u, доступности d, числа нагрузочных групп g и других структурных параметров (СП).

Для облегчения задачи считают структурные параметры схемы заданными. В этом случае отыскивается соотношение типа

Точное решение данной задачи имеется лишь для идеально симметричных НС и малых неполнодоступных схем, когда возможно решение системы уравнений для вероятностей состояний. Можно получить также приближенную оценку вероятности с требуемой степенью точности, если воспользоваться методом статистического моделирования на ЭВМ или моделированием на специализированных машинах телефонной нагрузки. Для инженерной практики проектирования перечисленные способы подсчета потерь в большинстве случаев неудобны.

Для подсчета потерь в неполнодоступном пучке имеются достаточно простые приближенные способы, которые отражают лишь основные закономерности функции (8.24), учитывая структуру с помощью только одного параметра d. Данные методы основаны на априорных предположениях о распределении вероятностей занятия линий в неполнодоступном пучке, поэтому назовем их априорными. Основным недостатком таких методов является тот факт, что оценить погрешность результатов, полученных с их помощью, можно только экспериментальной проверкой или применением точных методов расчета.

Рассмотрим несколько приближенных априорных методов определения вероятности потерь в неполнодоступном пучке.

Упрощенный метод Эрланга. Если у –интенсивность нагрузки, поступающей на неполнодоступный пучок соединительных устройств, u – число соединительных устройств, обслуживающих эту нагрузку, d – доступность и р – вероятность потерь, то при малой вероятности потерь средняя величина интенсивности нагрузки, обслуженной одним соединительным устройством, будет примерно равна у /u.

Вероятность Н ₁занятости определенного (точно указанного) соединительного устройства можно принять равной средней величине интенсивности нагрузки, обслуженной этим устройством, т. е. H ₁ =y /u. Если события занятости приборов в неполнодоступном пучке считать независимыми, то вероятность занятости d определенных устройств будет равна H_d=H^d ₁ =(y /u )^d. Эта вероятность принимается за вероятность потерь, т. е.

Соотношение (8.25) является весьма простой зависимостью типа (8.24). Из него в явном виде можно получить выражения для у и u:

Приведенные рассуждения равносильны априорному утверждению справедливости распределения Бернулли для описания процесса занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке. Формулы (8.25) и (8.26) могут дать лишь грубое приближение для искомых величин и представляют интерес только в случае качественной оценки основных зависимостей между р, u, у и d.

Метод Лотце – Бабицкого. Предположим, что процесс занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке можно описать с помощью распределения Эрланга, полученного им для вероятности занятия любых i линий в полнодоступном пучке. Для полнодоступного пучка, состоящего из uлиний, при интенсивности поступающей нагрузки у оно имеет вид

В этом случае вероятность занятия i фиксированных соединительных устройств в полнодоступном пучке при тех же значениях числа приборов и нагрузки будет равна

Тогда, считая, что вероятность потерь в неполнодоступном пучке равна вероятности занятия d определенных устройств, получим для нее следующее соотношение:

Формула (8.28) была предложена К. Пальмом в 1943 г. и использовалась К. Якобеусом в 1947 г. для определения потерь в двухзвеньевых схемах. И. А. Бабицкий в 1956 г. использовал эту формулу для определения потерь в ступенчатых НС и привел таблицы для некоторых значений параметров ступенчатых схем.

Результаты вычислений потерь, полученные по формуле Пальма– Якобеуса [см. (8.28)], хорошо согласуются с результатами статистического моделирования при малых значениях потерь. Для более точного соответствия значений потерь, вычисленных по данной формуле в широком диапазоне, в том числе и при больших потерях, А. Лотце предложил модификацию указанной формулы. В модифицированной формуле Пальма – Якобеуса (сокращенно формуле МПЯ) взамен реально поступающей на неполнодоступ-ную схему нагрузки у используется некоторая фиктивная поступающая нагрузка у _ф, которая обеспечивает имеющую место в НС обслуженную нагрузку у ₀при потерях, характерных для полнодоступного пучка.

Формула МПЯ, таким образом, имеет вид

Для заданных uи у ₀фиктивная нагрузка у _фопределяется следующим соотношением:

Реально поступающая на НС нагрузка у может быть получена из соотношения

Таким образом, реально поступающая нагрузка у обеспечивает обслуженную нагрузку у ₀в неполнодоступной схеме, состоящей из uлиний при доступности d, а фиктивная поступающая нагрузка у _фсоздает ту же обслуженную нагрузку у ₀в полнодоступном пучке из uлиний (d= u ).

Формула МПЯ совместно с соотношениями (8.30) и (8.31) обеспечивает достаточную точность при определении потерь в НС в широком диапазоне потерь. Это подтверждено многочисленными результатами статистического моделирования в работах А. Лотце и его сотрудников. Ими получены таблицы значений потерь по формуле МПЯ для диапазона значений доступности d= 2¸60, числа приборов u = 1¸200 и потерь р =0,001¸0,5.

Метод О'Делла. По этому методу нагрузка у ₀, обслуженная неполнодоступным пучком из uсоединительных устройств при вероятности потерь р, определяется как сумма нагрузок, обслуженных полнодоступным пучком, состоящим из d устройств, и неполнодоступным пучком, содержащим u– d соединительных устройств.

Считается, что каждая линия полнодоступного пучка обслужит нагрузку

где у_d – нагрузка, обслуженная всеми d линиями полнодоступного пучка при заданных потерях р.

Относительно второго (неполнодоступного) пучка предполагается, что каждая из u –d его линий пропустит нагрузку, лежащую между y_min в соответствии с соотношением (8.32) и у_тах, определяемой (8.25), т. е.

Отметим, что средняя пропускная способность каждой линии, определяемая (8.33), является предельной величиной удельной пропускной способности в идеально симметричной НС при неограниченно большом числе линий (u®¥). В соответствии со сказанным

Коэффициент K £l в (8.34) определяет величину надбавки пропускной способности линий второго (неполнодоступного) пучка по сравнению с первым (полнодоступным).

Измерения, проведенные Британским почтовым ведомством, показали, что для ступенчатых НС в случае, когда поступающая нагрузка образуется простейшим потоком, для которого отношение дисперсии к среднему значению равно единице (s²/ y)=1), следует принимать значение K =0,53. При поступлении выровненной нагрузки, т. е. нагрузки, образуемой потоками вызовов, для которых (s²/ y)<1, можно полагать К =1. В этом случае

Из соотношения (8.35) можно получить выражения для uи р в следующем виде:

Формулами (8.35) – (8.37) рекомендуется пользоваться для расчета числа соединительных устройств на всех ступенях искания, кроме IГИ. Рекомендация мотивируется тем, что в этих случаях приборы обслуживают поток вызовов, преобразованный (выровненный) на предыдущих ступенях искания, для которого справедливы полученные формулы. Для IГИ, обслуживающих непреобразованный поток вызовов (простейший поток), предлагается использование формул, получающихся из соотношения (8.34) при K =0,53.

8.9. Инженерный расчет неполнодоступных схем

С целью упрощения расчетов обычно стремятся свести их процедуру к использованию таблиц, кривых или простейших формул. Формулы (8.25) и (8.26) являются весьма грубым описанием существа дела и для инженерных расчетов обычно не используются. Результаты вычислений по (8.29) – (8.31) приведены в литературе в виде таблиц и используются для расчетов равномерных НС.

При фиксированных значениях d и р ф-ла (8.36) и аналогичная формула при K =0,53 приобретает вид линейной зависимости числа соединительных устройств от интенсивности нагрузки:

где a и b – постоянные коэффициенты при заданных d и р и зависят от этих параметров. Таблица для a и b приведена в [12].

Формула типа (8.38) удобна при проведении инженерных расчетов, так как с помощью небольшой таблицы коэффициентов a и b можно охватить широкую область изменения величин d и р, необходимую при проведении расчетов.

Графики зависимости числа приборов в неполнодоступном пучке от нагрузки u =f_d(у) при постоянных потерях р = 0,005 для трех значений доступности d приведены на рис. 8.7. Зависимость имеет такой вид, что, начиная с некоторого значения у, она может быть аппроксимирована прямой линией, как это делается в (8.38). Из рис. 8.7 видно, что с увеличением доступности уменьшается число приборов, требуемых для обслуживания заданной нагрузки. Наименьшее число приборов необходимо при полнодоступном включении (нижняя кривая).

На рис. 8.8 показана зависимость числа приборов в неполнодоступном пучке от нагрузки u= f_p(y) при постоянной доступности d =10 для трех значений потерь р. Из рассмотрения этого семейства кривых можно сделать вывод, что с повышением качества обслуживания (уменьшением величины потерь) требуется больше приборов для обслуживания заданной нагрузки.

Характер изменения среднего использования соединительных устройств в неполнодоступном пучке при р =0,001 в зависимости от емкости пучка показан на рис. 8.9 для трех значений доступности в сравнении со средним использованием в полнодоступном пучке (верхняя кривая). Кривые показывают, что среднее использование соединительных устройств растет с ростом емкости пучка uи увеличением доступности d.

Задача.

Рассчитать: число линий в неполнодоступном пучке с доступностью d =10, необходимых для обслуживания интенсивности поступающей на ступень IIГИ нагрузки (y =10 Эрл при величине потерь р = 0,005. Расчет производить упрощенным методом Эрланга, методом Лотце–Бабицкого по формуле Пальма–Яко-беуса, методом О'Делла.

Решение 1. Упрощенный метод Эрланга:

2. Метод Лотце–Бабицкого, формула Пальма–Якобеуса:

Из этой формулы число линий в явном виде не выражается, а определяется методом последовательных приближений. Пусть u=17, тогда

Дата добавления: 2014-11-29