Критерий согласия Колмогорова

В качестве меры расхождения принимается величина, пропорциональная максимуму абсолютной величины отклонений функций распределения предполагаемого теоретического закона и эмпирической функции распределения

где - F*(x) – эмпирическая функция распределения,

F(x) - теоретическая функция распределения.

Алгоритм применения критерия Колмогорова:

1. Исходя из известных значений эмпирических частот попадания в i-тый интервал, выдвигают нулевую гипотезу о предполагаемом законе распределения случайной величины X и находят его параметры.

2. В результате n независимых наблюдений строится F*(x) - эмпирическая функция распределения непрерывной случайной величины Х. По рассчитанным параметрам строится предполагаемая теоретическая функция распределения F(х).

3. Определяется мера расхождения между теоретическими и эмпирическими значениями функции распределения:

.

4. На заданном уровне значимости по таблице распределения критических значений для критерия Колмогорова находят критическое значение из таблицы

	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
	1.22	1.36	1.48	1.63	1.73	1.95

5. Если – принимается нулевая гипотеза (теоретический закон распределения не противоречит эмпирическим данным). Если – нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По данному статистическому распределению выборки определить гипотетично закон распределения вероятностей и на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о согласовании 2-х распределений с использованием критерия Пирсона.

Составим интервальный ряд.

Интервалы	0 - 10	10 - 20	20 - 30	30 - 40	40-50
mi

Построим гистограмму частостей (рисунок 7.1)

Рисунок 7.1 - Гистограмма частостей

По форме гистограммы можно предположить, что закон распределения – экспоненциальный. Для проверки этого утверждения используем критерий согласия Пирсона. Т.к. предполагаемый закон распределения экспоненциальный, то произведем “выравнивание” статистических данных по показательному закону. Для нахождения точечной оценки параметра

необходимо вычислить Тогда l=0,064.

Дифференциальная функция предполагаемого показательного закона распределения имеет вид f(x)=0,064^{-0,064 x}

Для нахождения c²_набл. построим вспомогательную таблицу с необходимыми вычислениями (табл.7.1)

Таблица 7.1 Вычисление c²_набл.

	xi	xi+1	mi	pi	npi	(mi - npi)^2/npi
				0,51		2,37
				0,25
				0,13		1,23
				0,07		0,14
				0,03		1,33
				0,99		6,08

6,08

Число степеней свободы r=5-1-1=3

Т.к. то нулевая гипотеза H0 об экспоненциальном законе распределения принимается.

Пример 2. По критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что СВ Х имеет нормальный закон распределения c параметрами N(9,87; 0,71).

Для нахождения l_набл. построим вспомогательную таблицу с необходимыми вычислениями (табл.7.2)

Таблица 7.2 Вычисление l_набл.

	x	F*(x)	F(x)	| F*(x)- F(x)|
	8,6		0,06	0,06
	9,03	0,14	0,18	0,04
	9,46	0,314	0,37	0,056
	9,89	0,514	0,504	0,01
	10,32	0,74	0,73	0,01
	10,75	0,85	0,89	0,04
	11,2		0,97	0,03

D=max| F*(x)- F(x)|=0,06 0,35 l_α=1,36

то гипотеза не противоречит опытным данным

Контрольные вопросы

1. В чем состоит проблема проверки согласия?

2. Почему необходима проверка согласия при решении стат. задач?

3. Приведите выражение статистики Пирсона для проверки согласия.

4. Сформулируйте правило проверки согласия (критерий Пирсона).

5. Приведите выражение статистики Колмогорова проверки согласия.

6. Сформулируйте правило проверки согласия(критерий Колмогорова).

Дата добавления: 2014-11-29