Знаковый критерий Вилкоксона

Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа № 5

Тема: «Проверка непараметрических статистических гипотез»

Цель работы: приобретение практических навыков в построении статистики и проверке непараметрической статистической гипотезы при неизвестном законе распределения случайной величины.

При обработке результатов наблюдений закон распределения генеральной совокупности часто неизвестен, поэтому применение параметрических методов не обосновано. В этих случаях применяют методы, свободные от распределения генеральной совокупности, которые называют непараметрическими методами. Такие методы используют не численные значения элементов выборки, а структурные свойства выборочной совокупности. При этом теряется часть информации, содержащаяся в выборке, что сокращает мощность непараметрических критериев. Достоинством свободных от распределения методов является их расчетная простота.

Как правило, устанавливают следующий порядок использования непараметрических критериев. Если распределение случайной величины неизвестно, то такие критерии являются единственно возможными для проверки различных статистических гипотез. Если распределение известно, то рекомендуется сначала применить простые в вычислительном отношении непараметрические критерии. При отклонении ими проверяемой гипотезы дальнейшее уточнение не требуется. Если непараметрический критерий не отклоняет гипотезу, необходимо осуществить ее дальнейшую проверку одним из более точных параметрических критериев.

Основная группа непараметрических критериев используется для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности или о совпадении функций распределения двух генеральных совокупностей (об однородности генеральных совокупностей). Необходимым условием однородности является равенство характеристик положения и (или) рассеивания.

Применяется для проверки гипотезы об однородности генеральных совокупностей по попарно связанным выборкам, взятым из закона распределения, отличного от нормального. Нулевая гипотеза может применяться в другой постановке :средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе . В этом случае из каждой разности вычитается значение , и дальнейшая обработка выполняется по приведенной схеме.

Пример задачи. Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных.

Описание критерия

Заданы две выборки

Дополнительные предположения:

1) Обе выборки простые, одинакового объема, n >10.

2) Выборки связные, то есть элементы соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза : обе выборки из одной генеральной совокупности.

Вычисление статистики критерия:

1. Рассчитать значения разностей пар двух выборок . Нулевые разности далее не учитываются. - количество ненулевых разностей.

2. Упорядочить ненулевые модули разностей пар в возрастающем порядке.

3. Каждому элементу ряда поставить в соответствие его номер в ряду - ранг. Если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров.

4. Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.

5. Рассчитать сумму положительных рангов

6. Т – нормально распределенная случайная величина с параметрами

.

7. Статистика критерия имеет вид:

8. Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости , если выборочное значение статистики удовлетворяет одному из неравенств:

Двусторонний критерий:

Правосторонний критерий:

Левосторонний критерий:

В этом случае различия между X и Y не существенны.

Дата добавления: 2014-11-29