Тема 7. Статистичні методи вимірювання взаємозв’язків

Методичні поради до вивчення теми:

Метою вивчення теми є формування теоретичних знань і набуття практичних навиків виявлення та кількісної оцінки взаємозв’язків між соціально-економічними явищами.

Передумовою розробки науково обґрун­тованих управлінських рішень, прогнозування й регулювання складних соціально-економічних явищ і процесів є аналіз характеру взаємозв’язків та оцінювання сили впливу визначених чинників на результат. Для проведення аналізу взаємозв’язків, студенти повинні вміти правильно виділяти ті ознаки, що є причинами (впливають чи обумовлюють зміну інших ознак) і ті ознаки, що є результатом такого впливу.

Необхідно розглянути класифікацію взаємозв’язків за характером впливу (функціональні, стохастичні, кореляційні), напрямком дії (прямі, обернені), формою (прямолінійні, криволінійні), кількістю факторів (одно факторні, багатофакторні).

Характер взаємозв’язків можна оцінити різними способами, зокрема, для вивчення функціональних зв'язків використовують індексний метод, балансовий метод, що передбачає побудову і аналіз натуральних, трудових та вартісних балансів, графічний метод, що передбачає визначення напрямку зв'язку за положенням значень у системі координат; для вивчення стохастичних зв'язків можна використовувати метод порівняння паралельних рядів, графічний метод, метод комбінаційних та аналітичних групувань, дисперсійний та кореляційний аналіз тощо.

При вивченні методу порівняння паралельних рядів студентам потрібно навчитися розташовувати згруповані дані статистичного спостереження ранжируваними паралельними рядами за факторною ознакою, паралельно вказуючи значення результативної ознаки. Напрямок і силу зв’язку при порівнянні паралельних рядів доцільно визначати за допомогою коефіцієнта Фехнера і коефіцієнта кореляції рангів Спірмена.

Коефіцієнт Фехнера оцінює щільність зв’язку на підставі порівняння знаків відхилень значень варіантів від їхньої середньої за кожною ознакою (формула 48 додатку А). При цьому слід пам’ятати, що значення коефіцієнта Фехнера (К_ф) коливається в межах від +1 до -1. Якщо К_ф наближається до +1, то спостерігається пряма і сильна узгодженість, якщо К_ф =0, то узгодженості між досліджуваними ознаками немає, якщо К_ф наближається до -1 – спостерігається має місце сильна обернена узгодженість.

Обчислення коефіцієнту кореляції рангів Спірмена (формула 49 додатку А) вимагає ранжирування досліджуваної сукупності за факторною ознакою (за зростанням одиниць) з паралельним зазначенням рангів тих самих одиниць сукупності, яким вони відповідали б у ранжируваному ряду за результативною ознакою. Значення цього коефіцієнта може коливатися в межах від +1 до -1. Якщо наближається до +1, то спостерігається прямий і сильний зв'язок, якщо до -1 – то має місце обернена кореляція рангів, якщо =0 – то кореляції рангів немає.

Оцінити зв'язок на основі кореляції рангів можна також за допомогою коефіцієнта кореляції рангів Кендела (формула 50 додатку А).

Найбільш простим способом виявлення зв’язку та визначення його напрямку є графічний метод, змістом якого є зображення на графіку значень досліджуваних ознак, відтак, студентам необхідно вміти за характером розміщення точок (формою кореляційного поля) на графіку визначати напрямок і силу зв’язку.

При використанні методу комбінаційних групувань, що передбачає побудову кореляційної таблиці, у якій міститься комбінаційний розподіл сукупності за двома або більше ознаками, студентам слід навчитися оцінювати наявність і напрям зв’язку за розміщенням частот у клітинках таблиці вздовж діагоналі.

Використання методу аналітичних групувань дозволяє встановити наявність зв’язку та оцінити кількісні співвідношення між змінами ознак. Слід звернути увагу на те, що при побудові аналітичних групувань наявність зв’язку виявляється систематичною (від групи до групи) і оцінюється за зміною групових середніх результативної ознаки. Студенти мають вміти кількісно оцінювати такий зв'язок за допомогою ефектів впливу факторної ознаки на результативну:

(7.1)

(7.2)

Де, , – середні значення результативної ознаки відповідно у першій та другій групах; , – середні значення факторної ознаки відповідно у першій та другій групах.

Суть дисперсійного аналізу полягає у зіставленні (порівнянні) між собою різних видів дисперсій: міжгрупової та загальної, внутрішньогрупової та загальної, міжгрупової та внутрішньогрупової. Відношення міжгрупової дисперсії () до загальної () розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку – коефіцієнт детермінації η² (формула 51 додатку А). Ще одним показником щільності зв’язку є емпіричне кореляційне відношення (η) (формула 51 додатку А). Емпіричне кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Якщо η =0 то кореляційний зв'язок не спостерігається, якщо η =1 то має місце функціональний зв'язок. Студенти мають вміти розраховувати ці показники та інтерпретувати їх значення.

Істотність зв’язку перевіряється порівнянням фактичного значення η ² з критичним (додаток Б) для визначеної імовірності (0,95) та ступенів вільності k₁ і k₂ (формула 54 додатку А). Оцінку істотності та надійності кореляційного відношення проводять також на основі розрахунку та порівняння (з табличними значеннями) F - критерію Фішера (формула 53 додатку А) та t - критерію Стьюдента (формула 55 додатку А).

Після розрахунку фактичного значення критерію Фішера (F_ф) його порівнюють з теоретичним (табличним) значенням (F_Т) для визначених ступенів вільності дисперсій (додаток В). Слід пам’ятати, що коли F_ф>F_Т, то з прийнятим ступенем ймовірності (0,95 або 0,99) можна стверджувати про наявність впливу фактора, який вивчається. Якщо F_ф<F_Т, то різниця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

При інтерпретації обчисленого значення критерію Стьюдента студентам необхідно знати, що показник кореляційного відношення вважають вірогідним (тобто зв'язок між досліджуваними ознаками є доведеним) при t_η ≥ 3. Якщо ж критерій t_η < 3, то висновки про вірогідність зв'язку між досліджуваними ознаками є сумнівними.

Подальше вивчення теми потребує опанування методикою кореляційно-регресійного аналізу. При цьому слід враховувати такі обмеження (умови) його застосування: наявність однорідності тих одиниць, які підлягають дослідженню; достатньо велика кількість спостережень, при яких погашається вплив випадковостей на результативну ознаку і має силу закон великих чисел; нормальний характер розподілу результативної ознаки.

У межах опанування методикою кореляційно-регресійного аналізу студенти повинні навчитись обирати вид рівняння регресії, обчислювати його параметри, визначати адекватність (відповідність) отриманої теоретичної залежності фактичним даним.

Вивчення кореляційного зв'язку між ознаками доцільно починати з регресійного аналізу в межах якого встанов­люють форму зв'язку (вид рівняння регресії) та визначають параметри рівняння регресії. Студентам слід розуміти, що вид рівняння регресії (за умови парної регресії) можна встановити аналітичним способом: якщо зі зміною фактора «х» результат змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією; якщо прирости значень «у» із зміною «х» прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється, то використовують нелінійні регресії (параболічну, гіперболічну, степеневу, логарифмічну та ін..). На практиці найбільш вживаним є рівняння лінійної функції:

(7.3)

Параметри рівняння а₁ і a₀ можна визначити методом найменших квадратів (формула 56 або 57 додатку А). Іншим способом ці параметри можна обчислити за допомогою таких формул:

(7.4)

(7.5)

Студентам слід звернути увагу, що для нелінійних залежностей, зокрема, для параболи другого порядку, рівняння регресії має вигляд:

(7.6)

Метод найменших квадратів у такому випадку матиме вигляд:

(7.7)

Після визначення параметрів рівняння регресії для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків доцільно використовувати коефіцієнти еластичності (формули 58, 59 додатку А), які показують на скільки відсотків зміниться в середньому результативна ознака при зміненні факторної ознаки на 1%.

Для оцінки щільності зв’язку студенти повинні вміти розраховувати коефіцієнт детермінації, коефіцієнт кореляції, лінійний коефіцієнт кореляції (формули 60, 61, 62 додатку А). Оцінку істотності та надійності кореляційного зв’язку при кореляційно-регресійному аналізі рекомендується проводити так само, як і для дисперсійного аналізу (на основі розрахунку та порівняння F - критерію Фішера та t - критерію Стьюдента). При цьому слід пам’ятати, що при визначенні ступенів вільності (формула 54 додатку А) замість числа груп, показник т дорівнює кількості параметрів рівняння регресії.

При побудові рівняння множинної регресії, яке відображає зв'язок декількох факторних ознак із результативною, як правило, використовують формулу багатофакторної лінійної залежності:

(7.8)

Де, х₁, х₂…х_п – факторні ознаки; а₀, а₁, а₂…а_п – параметри рівняння регресії, які для залежності (7.8) можна обчислити способом найменших квадратів:

(7.9)

З метою визначення факторів, що найбільше впливають на результативний показник студентам необхідно навчитись розраховувати та інтерпретувати часткові коефіцієнти еластичності та часткові β-коефіцієнти (формули 63,64 додатку А).

Щільність зв’язку для множинної регресії оцінюють за допомогою парних коефіцієнтів кореляції, коефіцієнту множинної (сукупної) детермінації, множинного коефіцієнта кореляції (формули 65, 66 додатку А). Парні коефіцієнти кореляції можна розрахувати за формулами:

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Множинний коефіцієнт кореляції (окрім формули 66 додатку А) студентам можна розрахувати таким способом:

(7.13)

Вірогідність множинного коефіцієнта кореляції перевіряють за допомогою t - критерію Стьюдента, порівнюючи розрахункове його значення з табличним.

Для виявлення та оцінки зв’язку між атрибутивними ознаками студентам необхідно провести комбінаційне групування і побудувати таблиці взаємної спряженості (рис.7.1).

Групи за факторною ознакою (mi)	Групи за результативною ознакою (mj)	Разом (Fi)
	f11 (fij)	f12	f12	F10
	f21	f22	f23	F20
	f31	f32	f33	F30
Разом (Fj)	F01	F02	F03	n

Рис. 7.1. Макет таблиці взаємної спряженості

Якщо кількість груп за факторною ознакою (m_i) дорівнює кількості груп за результативною ознакою (m_j) (квадратна таблиця взаємної спряженості), то для оцінки зв’язку між цими ознаками доцільно використовувати коефіцієнт взаємного сполучення К. Пірсона (формула 67 додатку А), якщо ж кількість груп за факторною ознакою відрізняється від кількості груп за результативною ознакою (прямокутна таблиця взаємної спряженості), то для оцінки зв’язку між цими ознаками доцільно використовувати коефіцієнт взаємного сполучення А. Чупрова (формула 68 додатку А). Істотність зв’язку також можна перевірити за допомогою статистичного критерію χ² (формула 69 додатку А).

Студентам слід запам’ятати, що за відсутності стохастичного зв’язку χ²=0, якщо теоретичне (розрахункове) значення χ² більше табличного (критичного), то зв'язок визнається істотним. Критичне (табличне) значення критерію Пірсона (χ²_таб) для ступенів вільності (k) та визначеної довірчої імовірності (Р) наведено у додатку Д. Ступені вільності (k) можна визначити за формулою:

(7.14)

Де, т_х – кількість груп за факторною ознакою; т_у – кількість груп за результативною ознакою.

У разі, якщо таблиця взаємної спряженості є чотирьохклітинковою (квадратною) а значення ознак, за якими проведено групування, є альтернативними (рис. 7.2), то для оцінки зв’язків студентам доцільно використовувати коефіцієнти асоціації, колігації та контингенції (формули 70-72 додатку А).

Студенти мають знати, що значення цих коефіцієнтів тлумачаться так само як і значення коефіцієнта кореляції (кореляційного відношення). Між коефіцієнтами асоціації, колігації та контингенції існує таке співвідношення: Q> W>К.

Ознака	А	Не А	∑В
В	a	b	a+b
Не В	c	d	c+d
∑А	a+c	b+d	a+b+c+d

Рис. 7.2. Таблиця взаємної спряженості ознак з альтернативними значеннями

Слід звернути увагу, що уразі, коли значення однієї із взаємопов’язаних ознак має кількісний вираз, а значення іншої – альтернативний, то щільність зв'язку оцінюється за допомогою бісеріального коефіцієнту кореляції (формула 73 додатку А).

Оцінка надійності непараметричних показників зв’язку перевіряється за допомогою t - критерію Стьюдента.

Рекомендована література за темою

Основна [5, 6, 12, 20, 23]

Додаткова [8, 15, 22, 27]

Термінологічний словник

Коефіцієнт детермінації – це показник, який показує якою мірою варіація результативної ознаки обумовлена варіацією факторної ознаки.

Коефіцієнт еластичності – це показник, який показує на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака при зміненні факторної ознаки на 1%.

Кореляція – це співвідношення, відповідність між змінними у рівнянні регресії.

Кореляційні зв’язки – це різновид стохастичних зв’язків, коли умовні розподіли замінюються середнім значенням результативної ознаки.

Критичне значення кореляційного відношення – це максимально можливе значення кореляційного відношення, яке з визначеною імовірністю може виникнути випадково при відсутності кореляційного зв'язку.

Обернений зв'язок – це зв'язок, при якому значення результативної ознаки змінюється у протилежному напрямку відносно зміни значення факторної ознаки.

Прямий зв'язок – це зв'язок, при якому факторна і результативна ознаки змінюються в одному напрямку.

Результативні ознаки – це ознаки, що змінюються під впливом інших.

Стохастичні зв’язки – це зв’язки, що виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак, при цьому кожному значенню факторної ознаки відповідає певна множина значень результативної ознаки, які утворюють так званий умовний розподіл.

Факторні ознаки – це ознаки, що впливають на інші і зумовлюють їхню зміну.

Функціональні зв’язки – це зв’язки, при яких кожному можливому значенню факторної ознаки завжди відповідає чітко визначене значення результативної ознаки.

Часткові коефіцієнти еластичності – це показники, які показують, на скільки процентів у середньому зміниться результативна ознака при зміненні кожного фактора на 1 % (при умовному фіксованому положенні інших факторів).

Часткові β-коефіцієнти – це показники, які показують, на яку частину середнього квадратичного відхилення змінюється результативна ознака при зміненні відповідної факторної ознаки на значення її середнього квадратичного відхилення.

Дата добавления: 2014-11-29