Приклади розв’язування задач. Гомоморфізми та ізоморфізми алгебр

Гомоморфізми та ізоморфізми алгебр

Розглянемо алгебри A(X; j ₁, …, j_k) і B(Y; y ₁, …, y_k), в яких операції j_l та y_l є однаково n_i ‑ арними, i = 1, 2, …, k. Відображення f: X ® Y з умовою для всіх та всіх називається гомоморфізмом алгебри A(X; j ₁, …, j_k) в алгебру B(Y; y ₁, …, y_k). Гомоморфізм, який є одночасно бієктивним відображенням, називається ізоморфізмом алгебр.

Множина Y Í X називається замкнутою відносно n -арної операції j на Х, коли j(Yⁿ) Í X. Якщо підмножина Y Í X замкнута відносно всіх операцій алгебри A(X; j ₁, …, j_k) і їй відповідає алгебра B(Y; y ₁, …, y_k), то остання називається підалгеброю алгебри A(X; j ₁, …, j_k).

Для випадків груп та кілець поняття гомоморфізму, ізоморфізму та підалгебри були розглянуті раніше.

1. Алгебра складається з усіх відображень множини {1,2} в себе: , , , . Операцією є композиція ○ відображень. Скласти таблицю Келі та дослідити властивості операції в цій алгебрі.

Розв‘язування. Таблиця Келі для операції ○ в заданій алгебрі має вигляд

○	а	b	c	d
а	a	b	a	b
b	a	b	b	a
c	a	b	c	d
d	a	b	d	c

Як відомо композиція відображень є асоціативною, отже алгебра A = (X; ○} є півгрупою, де X = { a, b, c, d }. У півгрупі A є одиничний (нейтральний) елемент c, оскільки " x Î X, x ○ c = c ○ x = x. Отже, півгрупа A є моноїдом. Оскільки a ○ b = b, а b ○ a = a, то моноїд не є абелевим.

2. Перевірити, чи утворює групу множина R ₊ операція T, якщо вона задається як a T b = a ² b ⁴.

Розв‘язування. Для того, щоб алгебра була групою необхідно, щоб у алгебрі існував нейтральний елемент. Умовою існування нейтрального елемента e є " x Î R ₊, e T x = x T e = x. Нехай e ₁ –лівий, а e ₂ –правий нейтральний елементи. Тоді e ₁ T x = e ₁² x ⁴ = x, звідси e ₁ = x ^–3/2. Разом з тим x T e ₂ = x ² e ₂⁴ = x і e ₂ = x ^–1/4. Як бачимо e ₂ ≠ e ₁. Таким чином, нейтрального елемента не існує, і тому задана алгебра не є групою.

3. Показати, що група додатних дійсних чисел відносно операції множення (R ₊; ×) ізоморфна групі дійсних чисел відносно операції додавання (R; +).

Розв‘язування. Для доведення ізоморфізму можна використати наступне бієктивне відображення ln: R ₊ ® R, яке зберігає групові операції - ln (a × b) = ln (a) + ln (b).

4. Довести, що множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Розв‘язування. Справді, замкнутість цієї множини відносно операцій додавання та множення випливає зі співвідношень () + () = (a + b) + (c + d) та ()() = (ac + 3 bd) + (ad + bc) . Таким чином, наведені операції є дійсно бінарними операціями на заданій множині.

Перевіримо спочатку, що задана множина з операцією додавання є абелевою групою. Оскільки числа виду є частковим випадком дійсних чисел, то операція їх додавання є асоціативною й комутативною. Нейтральним елементом відносно додавання, очевидно, є елемент . Оберненим для елемента відносно операції додавання є елемент .

Числа виду є частковим випадком дійсних чисел. Тому й операція їх множення є асоціативною. Значить, вказана множина відносно заданої операції множення є півгрупою.

Як згадувалося раніше, операції множення та додавання на заданій множині є операціями над дійсними числами. Тому вказана операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання.

Отже множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Зауважимо, що згадана множина не є полем, бо не існує нейтрального елемента відносно операції множення, як показують наступні міркування.

Нехай - нейтральний елемент відносно операції множення. Тоді повинна виконуватися рівність . З неї отримуємо, що . Як бачимо зліва стоїть ціле число, а справа – ірраціональне. Ми отримали суперечність.

Дата добавления: 2014-11-29