Алгебраїчні операції

Нехай Х – довільна множина. n -арною операцією на множині Х називається відображення f: Хⁿ ® Х, яке кожному вектору (x ₁, x ₂, …, x_n) Î Хⁿ ставить у відповідність однозначно визначений елемент x Î Х. Це записується наступним чином: x = f(x ₁, x ₂, …, x_n). Таких операцій на множині Х можна задати декілька. Множина операцій, заданих на Х, називається його сигнатурою й позначається F = (f ₁, f ₂, …).

Множину Х разом з її сигнатурою F називаємо алгеброю (алгебраїчною структурою) та позначаємо A(X, F). Множина Х – це так звана множина-носій алгебри.

Найбільш поширеними є бінарні операції, які далі будемо називати просто операціями. Бінарна операція (або закон композиції) на Х – це довільне (але фіксоване) відображення f:Х² ® Х. Таким чином, будь-якій впорядкованій парі (x₁, x₂) елементів із Х ставиться у відповідність однозначно визначений елемент f(x ₁, x ₂ ) цієї ж множини Х. Часто бінарну операцію позначають якимось спеціальним символом: T, *, ◦, + та замість f(x ₁, x ₂ ) = z записують x T y = z. Коли зрозуміло про що йдеться, символ операції може пропускатися.

Операція Т називається асоціативною, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (x T y) T z = x T (y T z).

Операція Т називається комутативною, якщо для будь-яких x, y Î Х виконується умова x T y = y T x.

Операція T₁ називається дистрибутивною зліва відносно операції T₂, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова x T ₁(y T ₂ z) =(x T ₁ y) T₂ (x T ₁ z). Операція T ₁ називається дистрибутивною справа відносно операції T₂, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (y T ₂ z) T ₁ x =(x T ₁ y) T ₂(x T ₁ z). Операція T₁ називається дистрибутивною відносно операції T ₂, якщо вона одночасно є дистрибутивною зліва й справа.

Елемент е є нейтральним (одиничним) зліва відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х виконується e T x = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) справа відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х має місце рівність x T e = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) відносно операції Т, якщо він є одночасно нейтральним зліва й справа, тобто для будь-якого x Î Х виконується x T e = e T x = x. Якщо нейтральний елемент існує, то він є єдиним: дійсно, коли e ₁¹ e ₂, то з e ₁ = e ₁ T e ₂= e ₂ отримуємо суперечність.

Елемент x ^-1 називається оберненим зліва до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x^{‑ 1} T x = e. Елемент x ^-1 називається оберненим справа до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x T x^{- 1} = e. Елемент x ^-1 називається оберненим до елемента x Î Х відносно операції Т, коли він є одночасно оберненим зліва й справа, тобто x^{- 1} T x = x T x ^-1 = e.

У випадку, коли алгебраїчна структура має скінченне число елементів, можна для кожної заданої на ній бінарної операції будувати так звану таблицю Келі, яка повністю описує дану операцію. Число рядків і стовпців таблиці рівне числу елементів алгебри, а на перетині рядка й стовпця записується результат виконання операції над відповідними цим рядку й стовпцю двома елементами. Побудова таблиці Келі для операції Т алгебри показана далі.

Т	a1	a2	…	an
a1	a1Ta1	a1Ta2	…	a1Tan
a2	a2Ta1	a2Ta2	…	a2Tan
…	…	…	…	…
an	anTa1	anTa2	…	anTan

Дата добавления: 2014-11-29