Поняття функції корисності

ОСНОВІ ТЕОРІЇ КОРИСНОСТІ

РОЗДІЛ 4. ОБГРУНТУВАННЯ ГОСПОДАРСЬКИХ РІШЕНЬ НА

Термін “корисність” сприймається як важливість кінцевого варіанта рішень і характеризує ступінь задоволення особи від прийнятого рішення або здійснення деякої операції і може інтерпретуватися як узагальнений результат за умови, що всі цінності вимірюються в одиницях єдиної шкали (одиницях корисності). Зв'язок між одиницями корисності з іншими одиницями (наприклад, грошовими) забезпечує визначення величини корисності для ОПР. Шкала корисності будується на підставі логіки керівника, правил його поведінки.

Використовуючи функцію корисності, ОПР має можливість зіставляти ефекти від альтернативних варіантів рішень (варіантів вкладання коштів, варіантів ранжування споживчих товарів, послуг тощо). За допомогою різних функцій корисності можна описати будь-які варіанти оцінки випадкових ситуацій у вигляді сподіваного значення функцій корисності, що є важливим при оцінюванні ризиків. Варто зазначити, що для кожної ОПР може існувати своя функція корисності, яка відображає результат рішення в залежності від ставлення до ризику.

Допустимо, що має місце ситуація, в якій особа з ймовірністю виграє грошову суму в розмірі одиниць і з ймовірністю програє суму . Таку ситуацію будемо позначати і називати лотереєю (грою).

Максимальну суму грошей, яку гравець згідний заплатити за участь у лотереї, або мінімальну суму грошей, за яку гравець готовий відмовитися від участі в лотереї, називають безумовним грошовим еквівалентом.

Нехай , грн. і грн. Спробуємо дати відповідь на запитання: за яку суму гравець згідний поступитися правом приймати участь у лотереї?. Якщо гравець є об’єктивістом, то він керується у своїх діях правилом: безумовний грошовий еквівалент повинен бути рівний середньому очікуваному виграшу (очікуваній грошовій оцінці). Так як середній очікуваний виграш у даному випадку складає грн., то гравець, виступаючи з об’єктивної точки зору, не повинен поступитися правом приймати участь у лотереї за суму меншу ніж 60 грн.

Разом з тим, виходячи із певних суб’єктивних міркувань, гравець може відмовитися від участі у лотереї і за іншу суму, величина якої залежить від фінансового стану гравця, його відношення до ризику тощо.

Здоровий глузд та емпіричні спостереження свідчать про те, що більшість інвесторів і керівників намагаються уникати ризику. Найбільш чітке пояснення такої поведінки дає теорія корисності.

При обґрунтуванні ефективності і наслідків рішень ОПР, як правило, використовує певну систему переважань, яка забезпечує вибір рішення проблеми (задачі). Часто система переважань формується, уточнюється і змінюється у процесі вирішення управлінської проблеми по мірі надходження нової інформації. У зв’язку з цим важливу роль відіграють засоби формалізації системи переважань.

Американські вчені Дж.Нейман та О.Моргенштерн сформулювали систему аксіом раціональної поведінки, на основі якої довели теорему про існування функції корисності.

Основними бінарними відношеннями у теорії корисності вважаються відношення пріоритетності: “не гірше”, “рівноцінно (еквівалентно, байдуже)” і “краще”, які будемо позначати відповідно символами “ ~”, ”~” і ” ”.

Відношення “ не гірше за ” ~ , де та є елементами множини (допустимими планами, точками простору, набором товарів тощо), означає, що ОПР вважає для себе кращим, ніж , або не робить між ними різниці.

Методологія обґрунтування рішень на основі функції корисності будується на системі аксіом (властивостей), які представляють мінімально необхідний набір умов раціональної поведінки і правила надання переваг.

Аксіома повноти (порівняльності) передбачає, що для кожного варіанта із множини альтернатив (можливих результатів) особа може визначити: деяка альтернатива є кращою за альтернативу , або гіршою або вони є рівноцінними ~ .

Властивість повноти відношення дає змогу встановити, який із двох елементів або є не гіршим від іншого з урахуванням власної системи переваг:

~ ~ . (4.1)

За допомогою властивості повноти ОПР має можливість розрізняти елементи множини , тобто порівнювати альтернативні варіанти.

Аксіома транзитивності відношення означає, що якщо елемент не гірший у порівнянні з елементом , а елемент не гірший за елемент , то елемент не гірший за елемент :

~ ~ ~ . (4.2)

Аксіома транзитивності не допускає мінливості переваг ОПР.

Повне бінарне відношення має властивість рефлективності, яка полягає у тому, що кожний елемент множини завжди не гірший від самого себе:

~ . (4.3)

Елементи і вважаються рівноцінними (еквівалентними) тоді і лише тоді, коли ~ і ~ , тобто

~ ~ ~ . (4.4)

Відношення рівноцінності характеризується властивостями:

• рефлективності:

~ ;

• транзитивності:

~ ~ ~ ;

• симетричності:

~ ~ .

Відношення переваги “не гірше” породжує відношення “краще” ():

~ ~ ~ , (4.5)

де запис ~ означає “не правильно, що ~ ”, тобто що елемент не перебуває у відношенні “не гірше” з елементом .

Для відношення “краще” мають місце такі властивості:

• асиметричність:

;

• від’ємна транзитивність:

;

• антирефлексивність:

;

• транзитивність:

.

Аналогічно можна розглядати допоміжні відношення переваги, а саме - “гірше” і “не краще”.

До аксіом раціональної поведінки відносять також аксіоми незалежності, неперервності і нерівних ймовірностей.

Аксіома незалежності означає, що у випадку байдужості особи стосовно вибору між і ~ вона вважає лотереї і рівноцінними, тобто

~ ~ , (4.6)

Згідно аксіоми неперервності в умовах транзитивності відносно альтернатив існує таке значення ймовірності , за якого лотереї і є рівноцінними.

Зміст аксіоми нерівних ймовірностей полягає у тому, що особа із двох запропонованих лотерей, які дають однаковий виграш з різною ймовірністю, вибере лотерею із більшою ймовірністю.

У випадках, коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, особа приймає рішення враховуючи тільки ймовірність кінцевого виграшу (аксіома складеної лотереї).

Сукупність узгоджених між собою відношень переважності на впорядкованій множині прийнято називати сім’єю:

~;~ ~ . (4.7)

Множину вважають впорядкованою, якщо для двох довільних її елементів і завжди справедливим є одне із таких співвідношень: або , або ~ , або .

Виходячи із наведених вище передумов, авторами теорії корисності було показано, що існує неперервна дійсна функція , яка визначена на множині і відповідає умові:

~ (4.8)

Цю функцію називають функцією корисності (цінності).

Із урахуванням означення функції корисності, план (рішення) вважають не гіршим від плану тоді і лише тоді, коли корисність плану не менша за корисність плану .

Доведено, що для обмеженої і замкненої підмножини -вимірного евклідового простору відображення відношення переваги “не гірше” неперервною дійсною функцією корисності можливе тоді і лише тоді, коли це відношення є неперервним на .

Для скінченої множини завжди відношення переваги “не гірше” можна відобразити деякою дійсною функцією.

Одночасно з функцією корисності усі відношення переважності можна представити довільною дійсною функцією , яка отримується з шляхом монотонно зростаючого перетворення.

Так, якщо , є функцією корисності, а - зростаюча функція дійсної змінної , то функція , також задовольняє означення функції корисності. Іншими словами, функція корисності єдина з точністю до довільного монотонно зростаючого перетворення і має назву порядкової функції.

Якщо функція корисності є єдиною з точністю до довільного позитивного лінійного перетворення

, (4.9)

де , то вона має назву інтервальної функції і, крім встановлення переваги одного елемента над іншим, забезпечує можливість виявити, на скільки різняться між собою елементи за переважністю. Зокрема, функція корисності вказує, у скільки разів один елемент має перевагу над іншим.

Дата добавления: 2014-11-29