Побудова функції корисності

Існують різні підходи щодо побудови функції корисності.

Найпростіша процедура, згідно якої кожному елементу скінченої множини ставиться у відповідність певне значення функції корисності, передбачає виконання n кроків. На першому кроці присвоюється значення . Реалізація наступних кроків полягає у присвоєнні функції корисності значень згідно правила:

(4.10)

Перші три умовні вирази є очевидними, а четвертий означає обчислення середньої величини із розрахованих на попередніх кроках значень функції корисності для “найближчих” між собою за перевагою елементів.

Побудована описаним вище методом функція корисності кожному елементові із множини ставить у відповідність деяке раціональне число , задовільняє умову (4.6) і є порядковою функцію корисності. Недоліком методу слід вважати можливу появу від’ємних і дробових чисел.

Від необхідності використання від’ємних і дробових чисел (а іноді і чисел узагалі) можна позбутися скориставшись методом ранжування, за яким для ранжування спочатку вибирають елемент з найвищою перевагою у порівнянні з іншими елементами (принаймні, у нестрогому розумінні) і присвоюють йому максимальний ранг n, тобто, якщо ~ для усіх , то . Елемент вилучається із множини і серед елементів, що залишилися Х \ , знову вибирається елемент з найвищою перевагою, якому присвоюється ранг . У подальшому процедура присвоєння рангів повторюється аналогічно.

Зауважимо, що може трапитися ситуація, що декілька (група) рівноцінних елементів отримають різні ранги. Для її уникнення ранги рівноцінних елементів заміняють середнім арифметичним значенням рангів групи.

Для побудови порядкової функції корисності використовують також методи, які ґрунтуються на попарному порівнянні елементів скінченої множини . Реалізація цих методів передбачає:

▪ формування матриці, яка відображає сім’ю відношень переваг:

(4.11)

▪ обчислення значень порядкової функції:

, . (4.12)

Зупинимося на побудові інтервальної функції корисності.

Нехай множиною допустимих планів є певний проміжок множини дійсних чисел. Для побудови функції корисності на цьому проміжку перш за все необхідно визначити інтервали, на яких не змінюється тип монотонності відношення переважності, так як в одних випадках із зростанням переваги і функція корисності будуть зростати, а в інших – будуть спадати або залишатися незмінними.

Допустимо, що є проміжком, на якому функція корисності зростає, тобто

.

Потрібно встановити початкові умови – значення функції корисності і в граничних точках. Якщо раніше ці значення не визначалися, то можна покласти:

;

.

Подальший процес побудови інтервальної функції корисності полягає у виконанні таких двох процедур:

▪ визначення значення корисності в декількох внутрішніх точках проміжку ;

▪ апроксимація переваг, встановлених у результаті реалізації першої процедури.

Ефективний засіб реалізації першої процедури, який можна використати для побудови інтервальної функції корисності - метод половинного поділу за корисністю поточного проміжку. Алгоритм методу половинного поділу за корисністю полягає у виконанні таких кроків:

1) знаходять половинну за корисністю на проміжку точку (позначимо її ), значення функції корисності у якій дорівнює середньому арифметичному значень функції корисності в граничних точках:

; (4.13)

2) на проміжку знаходять половинну за корисністю точку ;

3) на проміжку знаходять половинну за корисністю точку ;

4) на проміжку знаходять половинну за корисністю точку (позначимо її );

5) якщо і з практичної точки зору не відрізняються, то процес може бути продовжений для одержання інших половинних за корисністю точок ( тощо).

Істотна розбіжність між половинними за корисністю точками і вказує на необхідність повторення пунктів 1-4 з метою уточнення точок, половинних за корисністю на відповідних проміжках.

У результаті реалізації описаного вище алгоритму отримуємо:

;

;

;

;

.

Існування та єдиність точки, яка є половинною за корисністю на заданому проміжку забезпечується тим, що функція корисності є неперервною і зростаючою. Половинну за корисністю на заданому проміжку функцію знаходять за участю ОПР, використовуючи одну із схем одновимірного пошуку.

Для того, щоб оцінити значення функції корисності у точці , можна скористатися лотереєю. Особі пропонують на вибір: отримати деяку гарантовану суму , яка знаходиться між найгіршим і найкращим значеннями і , або прийняти участь у лотереї . При цьому значення ймовірності змінюють до тих пір (понижують або підвищують), поки для ОПР стане байдужим вибір між отриманням гарантованої суми або участю у лотереї. Якщо прийняти , то корисність гарантованої суми виграшу рівна:

.

Нехай має місце ситуація, коли особі байдуже: отримати гарантовано 50 грн., чи взяти участь у лотереї . Тоді

.

Так, якщо покласти і , то маємо .

У даному випадку корисність варіанту визначається ймовірністю, за якої особа стає байдужою стосовно вибору між гарантованою сумою або участю у лотереї. Ймовірність можна перетворити на корисність, виражену за допомогою 10-бальної або 100-бальної шкал (помножити на 10 або 100).

Участь у формуванні проміжних значень функції корисності може прийняти група експертів. На основі експертних заключень розраховуються значення функції корисності в окремих точках. Якщо має місце розходження думок експертів, то процедуру оцінювання повторюють.

З метою апроксимації переваг ОПР потрібно визначити вигляд функції корисності. Практика показує, що цілком задовільні результати можна отримати за допомогою лінійної, степеневої, показникової і логарифмічної функцій. Потрібно відзначити, що при виборі апроксимуючої функції слід враховувати можливі припущення щодо граничної (маргінальної) корисності . Лінійній функції відповідає стала гранична корисність. Квадратична функція може бути використана у випадках рівномірного зростання або спадання граничної корисності.

Парабола третього порядку (кубічна функція) відтворює процеси, для яких гранична корисність спочатку зростає, а потім спадає (або навпаки). Взаємозв’язок між деякими функціями корисності та граничною корисністю подано у табл.4.1.

Ознайомитися з іншими методами побудови функцій корисності (зокрема, побудови функцій корисності на багатовимірній множині) читач має змогу у [ ].

Дата добавления: 2014-11-29