КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Образец решения контрольной работы № 1
Задание 1. Даны вершины А (–1; 0), В (5; 2), С (2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А. Сделать чертеж. Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Oxy.
1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: . Подставляя в нее координаты точек А (–1; 0) и В (5; 2), получим: (ед.). 2) По определению медианы точка М медианы CМ делит сторону АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам: , . Таким образом, найдена точка М (2; 1). Уравнение медианы CМ найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки C и М, по формуле: или , или . По свойству пропорции отсюда следует уравнение CМ: или . 3) Уравнение высоты СH как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде , где угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности прямых СH и АВ: . Угловой коэффициент определим, используя формулу углового коэффициента прямой: . Следовательно, . Уравнение высоты примет теперь вид: или . 4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде: , где угловой коэффициент прямой L найдем из условия параллельности прямых L и AB: . Уравнение прямой L примет вид: или . 5) Длину высоты СН найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ: , где есть общее уравнение стороны АВ. Найдем уравнение стороны АВ: или , или .
Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим: (ед.). 6) Из рисунка видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле: . Угловой коэффициент (найден в п. 3). Аналогично найдем . Следовательно, , тогда (рад.). Ответ: 1) длина стороны АВ: ед.; 2) уравнение медианы CМ: ; 3) уравнение высоты СН: ; 4) уравнение прямой L: ; 5) длина высоты СН: ед.; 6) величина внутреннего угла А: рад. Задание 2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой равно . Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи.
1) Предположим, что М (x; y) – текущая точка искомой линии. Тогда точка N (–4; y) является ее проекцией на прямой x = –4. 2) По условию задачи выполняется следующее отношение расстояний: или . 3) Используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы или параболы): Получили каноническое уравнение эллипса: , у которого полуоси есть и . 4) Построим линию по ее уравнению.
Ответ: эллипс. Задание 3. Написать разложение вектора по векторам , , . Решение. Требуется представить вектор в виде , где a, b и g – неизвестные числа. Согласно определения произведения вектора на число и суммы векторов имеем: , , и . Применяя определение равенства двух векторов получим линейную систему трех уравнений относительно неизвестных a, b, g: которую решим по формулам Крамера. Для этого составим четыре определителя 3-го порядка и вычислим их по правилу треугольников:
. Т. к. , то система имеет единственное решение. . . . Т. о., по формулам Крамера: , , . Ответ: . Задание 4. Даны вершины A 1(1; –1; 2), A 2(2; 1; 2), A 3(1; 1; 4), Решение. Сделаем схематический чертеж.
1) Найдем векторы и , проходящие через 2 заданные точки: , . Находим косинус угла между векторами по формуле: . Следовательно, (рад.). 2) Гранью A 1 A 2 A 3 пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4 является треугольник A 1 A 2 A 3, площадь которого определим по формуле: . Координаты вектора (см. п. 1). Аналогично найдем координаты вектора . Вычислим теперь векторное произведение векторов и : . Тогда длина векторного произведения равна: . Т. о., получим: (кв. ед.). 3) Уравнение искомой плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A 1, A 2, A 3 в форме определителя 3-го порядка: или , или , или , или , или . 4) Уравнение высоты, опущенной из точки А 4 на грань А 1 А 2 А 3 найдем как прямую, проходящую через точку А 4 перпендикулярно плоскости А 1 А 2 А 3 в форме канонических уравнений прямой , где вектор является направляющем вектором прямой (коллинеарен прямой). В п. 3 было найдено уравнение плоскости А 1 А 2 А 3: , следовательно, ее нормальным вектором является вектор . Т. к. вектор коллинеарен высоте, то его можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Следовательно, искомое уравнение высоты имеет вид: . Ответ: 1) величина угла между ребрами A 1 A 3 и A 1 A 4: рад.; 2) площадь грани A 1 A 2 A 3: кв. ед.; 3) уравнение плоскости A 1 A 2 A 3: ; 4) уравнение высоты из вершины A 4: . 2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление». 1. Найти пределы функций. 1. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 2. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 3. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 4. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 5. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 6. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 7. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 8. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 9. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 10. 1) при: а) ; б) ; в) ; 2) ; 3) . 2. Найти производные заданных функций. 1. 1) ; 2) ; 2. 1) ; 2) ; 3) . 3. 1) ; 2) ; 3) . 4. 1) ; 2) ; 3) . 5. 1) ; 2) ; 3) . 6. 1) ; 2) ;
3) . 7. 1) ; 2) ; 3) . 8. 1) ; 2) ; 3) . 9. 1) ; 2) ; 3) . 10. 1) ; 2) ; 3) . 3. Провести полное исследование функции и построить ее график. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 4. Доказать, что функция z = f (x; y) удовлетворяет данному уравнению. 1. , если . 2. , если . 3. , если . 4. , если . 5. , если . 6. , если . 7. , если . 8. , если . 9. , если . 10. , если .
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 347; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |