Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Образец решения контрольной работы № 1




Задание 1. Даны вершины А (–1; 0), В (5; 2), С (2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А. Сделать чертеж.

Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Oxy.

 

 

 
 

 

 


1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: .

Подставляя в нее координаты точек А (–1; 0) и В (5; 2), получим: (ед.).

2) По определению медианы точка М медианы делит сторону АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам:

, .

Таким образом, найдена точка М (2; 1).

Уравнение медианы найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки C и М, по формуле: или , или .

По свойству пропорции отсюда следует уравнение :

или .

3) Уравнение высоты СH как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде , где угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности прямых СH и АВ: .

Угловой коэффициент определим, используя формулу углового коэффициента прямой: . Следовательно, .

Уравнение высоты примет теперь вид: или .

4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде: , где угловой коэффициент прямой L найдем из условия параллельности прямых L и AB: .

Уравнение прямой L примет вид: или .

5) Длину высоты СН найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ: , где есть общее уравнение стороны АВ.

Найдем уравнение стороны АВ: или , или .

Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим: (ед.).

6) Из рисунка видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле: .

Угловой коэффициент (найден в п. 3). Аналогично найдем . Следовательно, , тогда (рад.).

Ответ: 1) длина стороны АВ: ед.; 2) уравнение медианы : ; 3) уравнение высоты СН: ; 4) уравнение прямой L: ; 5) длина высоты СН: ед.; 6) величина внутреннего угла А: рад.

Задание 2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой равно .

Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи.

 
 

 


1) Предположим, что М (x; y) – текущая точка искомой линии. Тогда точка N (–4; y) является ее проекцией на прямой x = –4.

2) По условию задачи выполняется следующее отношение расстояний: или .

3) Используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы или параболы):

или , или .

Получили каноническое уравнение эллипса: , у которого полуоси есть и .

4) Построим линию по ее уравнению.

 

 

 

Ответ: эллипс.

Задание 3. Написать разложение вектора по векторам , , .

Решение. Требуется представить вектор в виде , где a, b и g – неизвестные числа. Согласно определения произведения вектора на число и суммы векторов имеем: , , и . Применяя определение равенства двух векторов получим линейную систему трех уравнений относительно неизвестных a, b, g: которую решим по формулам Крамера. Для этого составим четыре определителя 3-го порядка и вычислим их по правилу треугольников:

.

Т. к. , то система имеет единственное решение.

.

.

.

Т. о., по формулам Крамера: , , .

Ответ: .

Задание 4. Даны вершины A 1(1; –1; 2), A 2(2; 1; 2), A 3(1; 1; 4),
A 4(6; –3; 8) пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4. Найти: 1) величину угла между ребрами A 1 A 3 и A 1 A 4; 2) площадь грани A 1 A 2 A 3; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A 1 A 2 A 3; 4) уравнение высоты пирамиды, проведенной через вершину A 4. Сделать схематический чертеж.

Решение. Сделаем схематический чертеж.

 

1) Найдем векторы и , проходящие через 2 заданные точки:

,

.

Находим косинус угла между векторами по формуле:

. Следовательно, (рад.).

2) Гранью A 1 A 2 A 3 пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4 является треугольник A 1 A 2 A 3, площадь которого определим по формуле: .

Координаты вектора (см. п. 1). Аналогично найдем координаты вектора .

Вычислим теперь векторное произведение векторов и :

.

Тогда длина векторного произведения равна:

.

Т. о., получим: (кв. ед.).

3) Уравнение искомой плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A 1, A 2, A 3 в форме определителя 3-го порядка: или , или , или

, или , или .

4) Уравнение высоты, опущенной из точки А 4 на грань А 1 А 2 А 3 найдем как прямую, проходящую через точку А 4 перпендикулярно плоскости А 1 А 2 А 3 в форме канонических уравнений прямой , где вектор является направляющем вектором прямой (коллинеарен прямой). В п. 3 было найдено уравнение плоскости А 1 А 2 А 3: , следовательно, ее нормальным вектором является вектор . Т. к. вектор коллинеарен высоте, то его можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Следовательно, искомое уравнение высоты имеет вид: .

Ответ: 1) величина угла между ребрами A 1 A 3 и A 1 A 4: рад.; 2) площадь грани A 1 A 2 A 3: кв. ед.; 3) уравнение плоскости A 1 A 2 A 3: ; 4) уравнение высоты из вершины A 4: .

2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».

1. Найти пределы функций.

1. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

2. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

3. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

4. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

5. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

6. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

7. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

8. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

9. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

10. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

2. Найти производные заданных функций.

1. 1) ; 2) ;
3) .

2. 1) ; 2) ;

3) .

3. 1) ; 2) ;

3) .

4. 1) ; 2) ;

3) .

5. 1) ; 2) ;

3) .

6. 1) ; 2) ;

3) .

7. 1) ; 2) ;

3) .

8. 1) ; 2) ;

3) .

9. 1) ; 2) ;

3) .

10. 1) ; 2) ;

3) .

3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

4. Доказать, что функция z = f (x; y) удовлетворяет данному уравнению.

1. , если .

2. , если .

3. , если .

4. , если .

5. , если .

6. , если .

7. , если .

8. , если .

9. , если .

10. , если .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 347; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.074 сек.