Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Явное задание функции

1. Если , а и , то . В частности, если , а совпадает с одним из аргументов, например, , то .

2. Если , а и , то и . Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

Неявное задание функции

3. Если уравнение задает неявно функцию , то и , где . В частности, если уравнение неявно определяет функцию , то .

4. Частные производные , функции двух переменных находятся по обычным правилам и формулам дифференцирования по каждой из переменной при фиксированном значении второй переменной. Например: ; .

5. Если поверхность задана явно функцией , то уравнение касательной плоскости в точке : ; уравнение нормали в точке : .

6. Если поверхность задана неявно уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке : уравнение нормали в точке : .

7. Полный дифференциал функции находится по формуле: . Дифференциал второго порядка равен: .

8. Если дифференциалы и независимых переменных достаточно малы, дифференциал функции приближенно равен ее приращению: . Отсюда следует, что приближенное значение в точке можно найти по формуле: , где , , а значения частных производных вычисляются в точке . Если обозначить через , то абсолютная погрешность , относительная погрешность .

9. Производная функции по направлению вектора вычисляется по формуле: .

10. Градиент функции есть вектор с координатами .

Дата добавления: 2014-11-29