КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Образец решения контрольной работы № 2
Задание 1. Найти пределы функций. 1) 2) ; 3) . Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами. а) . Найдем значения функций, стоящих в числителе и в знаменателе дроби, в точке : . Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то по теореме о пределе частного, учитывая непрерывность функций, предел равен значению частного в предельной точке: ; б) . Найдем новые значения и в точке : . Так как числитель и знаменатель дроби оба равны нулю, то заданное отношение в точке является неопределенностью вида и применять теорему о пределе частного нельзя. Для нахождения предела в этом случае выделим в числителе и знаменателе критический множитель , создающий неопределенность вида при . С этой целью найдем корни уравнений и , затем разложим квадратные трехчлены на линейные множители и после сокращения дроби на общий критический множитель найдем предел оставшегося выражения, применяя теорему о пределе частного как в случае пункта а): ; в) . При имеем и , т. е. заданное отношение при является неопределенностью вида и теорему о пределе частного применять нельзя. Для нахождения в этом случае предела дроби опять выделим в числителе и знаменателе критический множитель, который представляет собой старшую степень переменной . В данном случае это есть . После сокращения дроби на критический множитель применим теорему о пределе частного и следующие равенства, известные из теории пределов: , , . Получим: . 2) Найдем значения функций и , стоящих в числителе и знаменателе дроби, в точке : , . Следовательно, заданное отношение при является неопределенностью вида . Для нахождения предела отношения выделим в числителе и в знаменателе критический множитель , создающий неопределенность, и сократим на него дробь. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю и используем формулу сокращенного умножения разности квадратов: :
. По теореме о пределе корня , получим: . 3) . Найдем значения функций и в точке : и . Следовательно, заданное отношение представляет собой при неопределенность вида . Вычислим этот предел, применяя формулу первого замечательного предела: и равенство , вытекающее из непрерывности в точке функции . С этой целью преобразуем заданный предел следующим образом: . Ответ: 1), а) ; б) ; в) . 2) . 3) 3. Задание 2. Найти производные заданных функций. 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) . Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложной функции вида , где , а также таблицу производных. Получим: . 2) . Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложных функций вида , где , а также таблицу производных. Получим: . 3) . Используем правило дифференцирования суммы , правило дифференцирования произведения и правила дифференцирования сложных функций вида , где , а также таблицу производных. Получим:
. Ответ: 1) ; 2) ; 3) . Задание 3. Провести полное исследование функции и построить ее график. Решение. 1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , т. е. . В каждой точке области определения функция непрерывна. Точка есть точка разрыва функции, т. к. знаменатель функции в этой точке равен нулю, а числитель отличен от нуля. 2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции. , т. е. . Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодична, т. к. , где Т – некоторое действительное число. 3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
Так как точка оси Ox есть точка разрыва функции, то прямая линия , перпендикулярная оси Ox, есть вертикальная асимптота графика. Исследуем поведение графика функции вблизи вертикальной асимптоты по односторонним пределам функции. Возьмем слева от точки близкое значение, например, и вычислим в нем значение функции и ее знак: . Так как это значение отрицательно, и функция слева от точки непрерывна, то она сохраняет знак и . Теперь возьмем справа от точки близкое значение, например, : . Так как это значение положительно, и функция справа от точки непрерывна, то при переходе к пределу функция сохраняет знак и . Таким образом, слева от точки функция отрицательна, а справа от точки – положительна и имеет односторонние пределы, равные бесконечности. Такая точка называется точкой разрыва второго рода (или точкой бесконечного разрыва функции). б) Горизонтальные асимптоты. Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при , раскрывая неопределенность вида . Если существует конечный предел , то прямая, определяемая уравнением , есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем предел: . Предел равен бесконечности, значит горизонтальной асимптоты нет. в) Наклонные асимптоты. Наклонная асимптота имеет уравнение прямой линии с угловым коэффициентом вида , где , . Если , то наклонной асимптоты не существует. Найдем оба указанных предела для заданной функции: , . Таким образом, график имеет наклонную асимптоту . 4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Находим сначала первую производную функции: . Так как точка , в которой не существует, не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются лишь точки, в которых или , т. е. . Критические точки и точка разрыва разбивают ось Ox на 4 интервала монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в табл. 1.
Таблица 1.
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба. Находим сначала вторую производную функции: . Так как точка не принадлежит области определения функции и , то критических точек второго рода нет. Точка разрыва разбивают числовую ось Ox на 2 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика. Полученные данные заносим в табл. 2. Таблица 2.
6) Находим точки пересечения графика функции с осями координат, решая две системы уравнений. С осью Ox: А (1; 0) – точка пересечения графика с осью Ox. С осью Oy: В (0; 1) – точка пересечения графика с осью Oу. 7) Используя результаты исследования, строим график функции в такой последовательности: а) рисуем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту , подписываем их; б) изображаем максимум функции в точке и минимум в точке ; в) наносим на осях точки А (1; 0) и В (0; 1) пересечения графика с осями координат; г) нанесенные на плоскость точки соединяем гладкими линиями с учетом табл. 1 и 2 и поведения функции вблизи асимптот.
Задание 4. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению . Решение. По определению частной производной находим , считая переменную y фиксированной постоянной величиной: Аналогично находим частную производную считая переменную x фиксированной постоянной величиной: Находим смешанную частную производную 2-го порядка, используя правило дифференцирования произведения двух функций:
Подставляем найденные частные производные в данное уравнение: . Ответ: что и требовалось доказать.
3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление». 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 7. 1) ; 2) ;
3) ; 4) . 8. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 9. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 10. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Сделать чертеж. 1. , . 2. , . 3. , . 4. , . 5. , . 6. , . 7. , . 8. , . 9. , . 10. , . 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций. 1. , , . 2. , , . 3. , , . 4. , , . 5. , , . 6. , , . 7. , , . 8. , , . 9. , , . 10. , , .
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 455; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |