Положительные числовые ряды

Основные понятия

Числовые ряды

Ряды

1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а ₁, а ₂, …, а_n. Числовым рядом называется сумма вида .

2. Если существует конечный предел частичной суммы , то соответствующий числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.

3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:

а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то .

б) Достаточное условие расходимости: если , то числовой ряд расходится.

в) Если все члены сходящегося числового ряда умножить или разделить на число , то получится сходящийся ряд .

г) Если два сходящихся числовых ряда и почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды (или ).

4. Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера n, выполняется условие , то:

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

5. Второй признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда и . Если существует , то оба ряда ведут себя одинаково.

6. При использовании признаков сравнения чаще всего используют эталонные ряды:

1) Геометрический ряд a + aq + aq ² + … + aq^{n – 1} + … = сходится при и расходится при .

2) Ряд Дирихле сходится при и расходится при .

3) Частный случай ряда Дирихле при p = 1 – гармонический ряд расходится.

7. Признак Даламбера. Пусть дан положительный ряд и существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

8. Радикальный признак Коши. Пусть дан положительный ряд и существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

9. Интегральный признак Коши. Пусть дан положительный ряд . Если существует непрерывная, невозрастающая и неотрицательная функция на такая, что , то ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково.

Дата добавления: 2014-11-29