Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Образец решения контрольной работы № 3




Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение. 1) Интеграл преобразуем к табличному методом замены переменной. Так как , то, вводя новую переменную находим интеграл:

.

Проверка. Покажем, что производная от найденного неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. По свойству неопределённого интеграла это означает, что интеграл найден верно.

. Интеграл найден верно.

2) Преобразуем интеграл к виду :

. Учитывая, что

, то после введения новой переменной получаем табличный интеграл:

.

Проверка.

. Интеграл найден верно.

3) Для интегрирования произведения степенной функции на трансцендентную функцию (тригонометрическую, обратно тригонометрическую, показательную или логарифмическую) применяется метод интегрирования по частям, опирающийся на использование формулу интегрирования по частям . (*)

Пусть и , тогда и .

Применяя формулу (*), находим:

.

Проверка.

. Интеграл найден верно.

4) Для нахождения неопределённого интеграла от неправильной рациональной дроби, степень числителя которой больше или равна степени знаменателя, выделим из дроби целый многочлен и правильную дробь, используя деление многочленов «уголком»:


Таким образом, имеем:

Следовательно, по свойству неопределённого интеграла

(*)

В последнем интеграле квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, которые находим из квадратного уравнения :

После этого правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму двух простейших элементарных дробей методом неопределённых (буквенных) коэффициентов следующим образом:

(**), где А и В – неопределённые коэффициенты.

Приводя к общему знаменателю сумму и группируя по степеням переменной х, получаем:

.

Из равенства (**) следует, что , а это возможно тогда и только тогда, когда или Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, находим неопределенные коэффициенты: , .

Подставим найденные значения А и В в равенство (**), получим:

Следовательно,

Исходный интеграл в формуле (*) примет вид:

.

Проверка.

. Интеграл найден верно.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

Решение. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

Для вычисления заданного интеграла используем метод замены переменной в определённом интеграле: , , .

Найдём пределы интегрирования для новой переменной t. Если , то . Если , то . Итак, Вычисляем интеграл, переходя к новой переменной с новыми пределами интегрирования:

Ответ: .

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Сделать чертеж.

Решение. Для выполнения чертежа (рисунка фигуры) найдём координаты вершины параболы и точек пересечения параболы с прямой. Вершина параболы находится в точке экстремума функции Поэтому найдём производную и приравняем её нулю.

По уравнению параболы находим Вершина параболы находится в точке , ветви параболы направлены вниз.

Для нахождения точек пересечения параболы и прямой необходимо решить систему двух уравнений:

Точками пересечения являются и Делаем чертёж фигуры.

 
 

 

 


Для вычисления площади S полученной фигуры будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .

Вычисляем площадь фигуры:

(кв. ед.).

Ответ: 4,5 (кв. ед.).

Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Для выполнения чертежа фигуры найдём координаты точек пересечения параболы с прямой, решив систему двух уравнений:

Точками пересечения являются и . Делаем чертёж фигуры.

 
 

 


Для вычисления объема V, получаемого при вращении данной фигуры вокруг оси Ох, будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .

Вычисляем объем:

(куб. ед.).

Ответ: (куб. ед.).

 

4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».

1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (x 0) = y 0.

1. , . 2. , .

3. , y (0) = 5. 4. , y (–2) = 5.

5. , y (0) = 2. 6. , y (1) = e.

7. , y (3) = 1. 8. , y (0) = 2.

9. , y (1) = 0. 10. , y (0) = 3.

2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (x 0) = y 0 и

1. , y (0) = –2, .

2. , y (0) = 3, .

3. , y (0) = –3, .

4. , y (0) = –1, .

5. , y (0) = 1, .

6. , y (0) = 2, .

7. , y (0) = 2, .

8. , y (0) = 3, .

9. , y (0) = 0, .

10. , y (0) = 0, .

3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 464; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.051 сек.