Поступательное движение твердого тела

Отсюда

,

. (1.20)

Формула (1.20) определяет закон равнопеременного криволинейного движения точки.

Равномерное прямолинейное движение точки. В этом случае вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению: и . Таким образом, единственным движением, при котором ускорение точки равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.

Определим касательное и нормальное ускорения точки и значение радиуса кривизны ее траектории, если движение точки задано в координат-ной форме (1.3):

.

Из (1.8) имеем . Вычислим производную по времени от данного равенства:

,

отсюда

. (1.21)

Из (1.16) находим нормальное ускорение точки

. (1.22)

Тогда значение радиуса кривизны траектории в точке М определим по формуле

(1.23)

Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению.

При поступательном движении точки тела могут двигаться по любым траекториям. Например, кузов автомобиля на прямолинейном горизонтальном участке дороги движется посту-пательно: траекториями его точек будут прямые линии. Спарник АВ (рис. 2.1) при вращении кривошипов О ₁ А и О ₂ В (О ₁ А = О ₂ В = r) движется поступательно: траекториями точек спарника являются окружности радиусом r.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Доказательство. Рассмотрим твердое тело, совершающее поступа-тельное движение относительно неподвижной системы координат Охуz. Возьмем две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t связаны равенством (рис. 2.2):

, (2.1)

где и - радиус-векторы точек А и В соответственно. Вектор является постоянным по модулю и направлению, так как тело абсолютно твердое и оно движется поступательно.

Из (2.1) следует, что для любого момента времени положение точки В можно получить, смещением точки А на постоянный вектор . Следова-тельно, траектория точки В тождест-венна траектории точки А, но смещена относительно ее на вектор .

Дифференцируя равенство (2.1) по времени, получим

или

, (2.2)

поскольку .

Таким образом, скорости точек А и В в любой момент времени геометрически равны.

При дифференцировании равенства (2.2) по времени имеем

или

, (2.3)

т. е. ускорения точек А и В тела также геометрически равны. Поскольку изначально точки А и В выбраны произвольно, то это означает, что траектории всех точек тела при поступательном движении будут одинаковы, а их скорости и ускорения в любой момент времени геометрически равны.

Следовательно, изучение поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики любой одной его точки (см. лекцию 1).

Дата добавления: 2014-12-07