Гамильтониан и полная волновая функция дл атома гелия

Атом гелия является наиболее простым после атома водорода. Он содержит два электрона (Z =2). По два электрона содержат также эквивалентные ему ионы (), (), () и др. В спектрах этих двхэлектронных атомов встречаются такие же спектральные серии, что и у атомов щелочных металлов, но каждая из серий представлена в двух экземплярах: есть две главные серии, две резкие, две диффузные серии и т.д. в одном экземпляре все линии простые (синглеты), в другом – триплеты, т.е. каждая линия состоит из трех близко расположенных линий.

Полуклассическую теорию Бора обобщить на двух электронный атом не удалось. Объяснение спектральных закономерностей таких атомов возможно только с помощью последовательной квантовой теории. Современная квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем принципиальных трудностей не встречает, хотя вычислительные трудности огромны.

Оператор энергии взаимодействия частиц, входящих в двух электронный атом прежде всего содержит энергию их кулоновского взаимодействия

.

Первые два слагаемых представляют энергию взаимодействия электронов с ядром, а последнее – энергию взаимодействия электронов друг с другом.

Оператор магнитных взаимодействий зависит от спинов, положения и скоростей электронов

.

Учитывая еще кинетическую энергию электронов, запишем выражение для полного гамильтониана системы, считая, что ядро является неподвижным

.

Этот оператор симметричен относительно обоих электронов. Следовательно, волновая функция должна быть антисимметричной по отношению к электронам

.

Последнее слагаемое в операторе Гамильтона обусловливает мультиплетную структуру термов. Но оно мало по сравнению с остальными. Мы ограничимся качественным анализом мультиплетного строения уровней гелия, поэтому учитывать его не будем. То есть будем пренебрегать слабым магнитным спиновым взаимодействием.

В этом приближении можно считать, что спиновые и пространственные переменные разделяются, т.е волновая функция может быть представлена в виде произведения спиновой и координатной волновых функций

.

Координатная волновая функция является решением уравнения Шредингера

.

Полная волновая функция электронов должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов. Поэтому возникают две возможности: либо спиновая волновая функция является антисимметричной, а координатная симметричной

А: , (110)

либо наоборот спиновая волновая функция симметрична, а координатная антисимметрична

В: . (111)

В первом случае спины электронов антипараллельны и результирующий спиновый момент электронов равен нулю. Во втором случае спины электронов параллельны и результирующий спиновый момент электронов равен .

Если учесть, что от ориентации спина по отношению к орбитальному движению, хотя очень мало, но все же зависит энергия квантового уровня, то можно придти к заключению, что уровни с антипараллельными спинами будут одиночные (синглетные), а уровни с параллельными спинами распадаются на три близких уровня, соответственно трем различным ориентациям суммарного спинового момента.

Самым замечательным свойством этих двух классов состояний является то, что между ним почти невозможны квантовые переходы. Действительно, если игнорировать спиновые взаимодействия, то гамильтониан электронов гелия, даже при действии внешних полей будет симметричным относительно координат электронов, так как внешнее поле одинаково действует на оба электрона. Поэтому

.

Изменение волновой функции за время определяется полным уравнением Шредингера и равно

.

Приращение волновой функции имеет тот же характер симметрии, что и сама волновая функция.

Таким образом, если в момент времени волновая функция была симметричной (антисимметричной) относительно координат электронов, то она сохранит характер симметрии и в следующий момент времени

.

Переходы из симметричного состояния в антисимметричное и наоборот невозможны. Это правило не является абсолютно строгим. Оно нарушается при учете спин-орбитального взаимодействия, т.е. такие переходы возможны, но маловероятны. Преобладают переходы без изменения спина.

Гелий в состояниях с антипараллельной ориентацией спинов () называют парагелием, а в состояниях с параллельной ориентацией – ортогелием.

Самым низким энергетическим состоянием гелия является состояние . Ему соответствует энергия ионизации . Это состояние с противоположной ориентацией спинов электронов, т.е. нижнее состояние парагелия. Более высоким состояниям соответствует переход одного из электронов в состояние с главным квантовым числом больше единицы. Следующее состояние имеет энергию на больше. Это нижнее состояние ортогелия . переход в нижнее состояние парагелия связан с изменением спина и поэтому маловероятен. Атом, оказавшийся в таком состоянии, будет находиться в нем весьма долго. Такие долгоживущие состояния называются метастабильными.

Дата добавления: 2014-11-29